Achar os extremos das funções:
y =sen 3 x-3 sen x. Resp. min. para x=pi / 2; máx. para x=3 pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = sin(3x) - 3sin(x)
O conteúdo é cálculo de derivadas e teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular y', resolver y'=0 para encontrar pontos críticos e depois usar y'' para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
y' = ddxl[sin(3x)r] - 3ddx[sin(x)] = 3cos(3x) - 3cos(x) = 3l[cos(3x) - cos(x)r]

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos y' a zero:
cos(3x) - cos(x) = 0
Usando a identidade
cos(3x)-cos(x) = -2sinl(tfrac3x+x2r),sinl(tfrac3x-x2r) = -2sin(2x),sin(x),
temos
-2sin(2x),sin(x) = 0 Longrightarrow sin(x)=0 ou sin(2x)=0
Logo
x = kpi ou x = mpi2,
isto é, em um período [0,2pi) os candidatos são x=0,;tfracpi2,;pi,;tfrac3pi2

Passo 4

Calculemos a segunda derivada para classificar os pontos:
y'' = ddx[3cos(3x) - 3cos(x)] = -9sin(3x) + 3sin(x)

Passo 5

Avaliação de y'' nos pontos críticos:
Para x=tfracpi2:
y''l(tfracpi2r) = -9sinl(3cdottfracpi2r) + 3sinl(tfracpi2r) = -9sinl(tfrac3pi2r) +3cdot1 = -9(-1) + 3 = 12 > 0,
logo mínimo local.
Para x=tfrac3pi2:
y''l(tfrac3pi2r) = -9sinl(3cdottfrac3pi2r) + 3sinl(tfrac3pi2r) = -9sinl(tfrac9pi2r) +3(-1) = -9(1) -3 = -12 < 0,
logo máximo local.

Passo 6

Calculamos os valores de y nesses pontos:
Para x=tfracpi2:
yl(tfracpi2r) = sinl(tfrac3pi2r) - 3sinl(tfracpi2r) = -1 - 3 = -4
Para x=tfrac3pi2:
yl(tfrac3pi2r) = sinl(tfrac9pi2r) - 3sinl(tfrac3pi2r) = 1 - 3(-1) = 4

Resposta

Mínimo local em x=tfracpi2 com y=-4.
Máximo local em x=tfrac3pi2 com y=4.

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