Mostre que o algarismo das unidades do número s=1^n+2^n+3^n+4^n é 4 se n equiv 0(bmod 4) e é 0 nos demais casos, para todo n in N^*.
Resoluçāo: No caso n equiv 0^circ(bmod 4) valem as congruências 1^n equiv 1 (bmod 10), 2^n equiv 6(bmod 10), 3^n equiv 1(bmod 10) e 4^n equiv 6(bmod 10), o que implica s equiv 1+6+1+6 equiv 4(bmod 10). Se n equiv 1(bmod 4), entâo 1^n equiv 1(bmod 10), 2^n equiv 2(bmod 10), 3^n equiv 3(bmod 10) e 4^n equiv 4(bmod 10) e portanto s equiv 1+2+3+4 equiv 10 equiv 0(bmod 10). O raciocínio é o mesmo para os dois casos restantes.

Passo 1

O problema pede para determinar o algarismo das unidades de
s = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n
dependendo de npmod 4. Vamos usar a ideia de que, para cada base fixa, os restos de sua potência por 10 formam ciclos de período divisível por 4.

Passo 2

Calculamos os restos de 1^n módulo 10. Como 1^n =1 para todo n, temos
1^n equiv 1 pmod10
em qualquer classe de npmod 4.

Passo 3

Determinamos o ciclo de 2^npmod10. Para n=1,2,3,4 obtemos:
2^1equiv2, 2^2equiv4, 2^3equiv8, 2^4equiv6pmod10
Logo, conforme npmod4:
2^nequiv 2&se nequiv1, 4&se nequiv2, 8&se nequiv3, 6&se nequiv0, pmod10

Passo 4

Determinamos o ciclo de 3^npmod10. Para n=1,2,3,4 obtemos:
3^1equiv3, 3^2equiv9, 3^3equiv7, 3^4equiv1pmod10
Portanto,
3^nequiv 3&se nequiv1, 9&se nequiv2, 7&se nequiv3, 1&se nequiv0, pmod10

Passo 5

Determinamos o ciclo de 4^npmod10. Observamos:
4^1equiv4, 4^2equiv6, 4^3equiv4, 4^4equiv6pmod10,
um ciclo de período 2. Assim,
4^nequiv 4&se nequiv1 ou 3, 6&se nequiv0 ou 2, pmod10

Passo 6

Agora somamos os quatro restos em cada caso de npmod4:
  1. Se nequiv0pmod4:
sequiv 1 + 6 + 1 + 6 = 14 equiv 4pmod10
  1. Se nequiv1pmod4:
sequiv 1 + 2 + 3 + 4 = 10 equiv 0pmod10
  1. Se nequiv2pmod4:
sequiv 1 + 4 + 9 + 6 = 20 equiv 0pmod10
  1. Se nequiv3pmod4:
sequiv 1 + 8 + 7 + 4 = 20 equiv 0pmod10

Resposta

O algarismo das unidades de s=1^n+2^n+3^n+4^n é 4 se nequiv0pmod4 e 0 nos demais casos.

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