Mostre que o algarismo das unidades do número é 4 se e é 0 nos demais casos, para todo .
Resoluçāo: No caso valem as congruências e , o que implica . Se , entâo e e portanto . O raciocínio é o mesmo para os dois casos restantes.
Passo 1
O problema pede para determinar o algarismo das unidades de
dependendo de . Vamos usar a ideia de que, para cada base fixa, os restos de sua potência por formam ciclos de período divisível por .
Passo 2
Calculamos os restos de módulo . Como para todo , temos
em qualquer classe de .
Passo 3
Determinamos o ciclo de . Para obtemos:
Logo, conforme :
Passo 4
Determinamos o ciclo de 3^npmod10. Para n=1,2,3,4 obtemos: