Resolva as seguintes congruências lineares:
14 x equiv 36(bmod 48)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
14x equiv 36 pmod48
O conteúdo principal aqui é congruência linear, e para resolver vamos precisar:
1. Calcular gcd(14,48) pelo algoritmo de Euclides.
2. Verificar se esse divisor comum divide 36.
3. Se sim, dividir a congruência por esse valor e achar o inverso multiplicativo no módulo reduzido.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para gcd(14,48):
48 = 14 cdot 3 + 6, 14 = 6 cdot 2 + 2, 6 = 2 cdot 3 + 0
Logo
gcd(14,48) = 2

Passo 3

Como 2 divide 36, há solução. Dividimos toda a congruência por 2:
142x equiv 362 pmod482 Longrightarrow 7x equiv 18 pmod24

Passo 4

Agora gcd(7,24)=1, então 7 tem inverso módulo 24. Observamos
7 cdot 7 = 49 equiv 1 pmod24,
logo o inverso de 7 em Z24 é 7.

Passo 5

Multiplicamos a congruência 7xequiv18pmod24 por 7:
x equiv 7cdot18 = 126 equiv 6 pmod24

Passo 6

A solução geral no módulo original 48 vem de
x equiv 6 pmod24 Longrightarrow x = 6 + 24k, kin Z
Em termos de classes mod 48, isso equivale a
x equiv 6 pmod48 ou x equiv 30 pmod48

Resposta

A solução da congruência 14x equiv 36 pmod48 é
x equiv 6 pmod24,
ou seja
x = 6 + 24k, k in Z,
equivalente a x equiv 6 ou x equiv 30 pmod48.

Exercícios de Livros Relacionados