Mostre que cada uma das seguintes equações é a equação de uma reta:
x^3-x^2 y-2 x^2+3 x-3 y-6=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a curva dada por
x^3-x^2y-2x^2+3x-3y-6=0
é, na realidade, uma reta. O conteúdo usado será fatoração por agrupamento e a observação de que um dos fatores não possui soluções reais.

Passo 2

Vamos agrupar termos de modo a extrair um fator comum. Observe que os termos que envolvem x^3, -x^2y e -2x^2 podem ser escritos como x^2(x-y-2), e os demais como 3(x-y-2). Assim,

Passo 3

x^3-x^2y-2x^2+3x-3y-6 = x^2(x-y-2)+3(x-y-2) = (x^2+3),(x-y-2)

Passo 4

A equação original é equivalente a
(x^2+3),(x-y-2)=0
Mas para xinR temos x^2+3>0, logo essa parte nunca se anula. Assim, as únicas soluções reais satisfazem
x-y-2=0,
que é a equação de uma reta.

Resposta

A curva dada pela equação x^3-x^2y-2x^2+3x-3y-6=0 é a reta
x-y-2=0

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