44 Mostre que a composição de duas funções crescentes é crescente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções
\,f\colon A\to B e \,g\colon B\to C
que são crescentes (isto é, para quaisquer u,v, se u<v então f(u)<f(v), e idem para g), a composição
\,g\circ f\colon A\to C
é também crescente.

Passo 2

Sejam x,y\in A tais que x<y. Como f é crescente, concluímos
f(x)<f(y).

Passo 3

Agora, como g é crescente e f(x)<f(y), temos
g\bigl(f(x)\bigr)<g\bigl(f(y)\bigr).

Passo 4

Isso mostra exatamente que, para todo x<y em A,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)<g\bigl(f(y)\bigr)=(g\circ f)(y),
logo g\circ f é crescente.

Resposta

A composição de duas funções crescentes é crescente.

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