Mostre que a condição imposta na definição de continuidade uniforme pode ser reformulada como se segue, em têrmos de diámetros de conjuntos: A cada epsilon>0 corresponde de<a>0, tal que diâm. f(E)<epsilon para todo E subset X, com diâm. E<de<a.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a noção usual de continuidade uniforme de uma função fcolon Xto Y pode ser reescrita usando diâmetros de subconjuntos de X. O conteúdo envolve a definição de continuidade uniforme e a definição de diâmetro de um conjunto:
diam(E)=supldX(x,x')mid x,x'in Er

Passo 2

Relembremos a definição usual de continuidade uniforme. Dizemos que f é uniformemente contínua se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,x'in X,
dX(x,x')<de<a Longrightarrow dYl(f(x),f(x')r)<epsilon

Passo 3

Mostramos primeiro que continuidade uniforme implica a condição com diâmetros. Dado epsilon>0, pela uniformidade existe de<a>0 que serve para pares de pontos. Agora seja Esubset X com diam(E)<de<a. Então, para quaisquer x,x'in E tem-se
dX(x,x')<=diam(E)<de<a
e, pela uniformidade de f,
dYl(f(x),f(x')r)<epsilon
Como isso vale para todo par em E, o supremo dessas distâncias satisfaz
diaml(f(E)r)=supx,x'in EdYl(f(x),f(x')r)<=epsilon,
logo diam(f(E))<epsilon.

Passo 4

Agora provamos a recíproca: a condição com diâmetros implica continuidade uniforme. Seja epsilon>0 e tome de<a>0 tal que, para todo Esubset X com diam(E)<de<a, vale diam(f(E))<epsilon. Dados x,x'in X com dX(x,x')<de<a, considere o conjunto E=x,x'. Tem-se
diam(E)=dX(x,x')<de<a Longrightarrow diam(f(E))<epsilon
Mas diam(f(E))=supdY(f(x),f(x')) = dY(f(x),f(x')), logo
dYl(f(x),f(x')r)<epsilon,
mostrando a continuidade uniforme de f.

Passo 5

Concluímos que as duas condições são equivalentes:
“Para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que dX(x,x')<de<aimplies dY(f(x),f(x'))<epsilon
é equivalente a
“Para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, se Esubset X e diam(E)<de<a, então diam(f(E))<epsilon.”

Resposta

A condição de continuidade uniforme pode ser formulada assim:
Para cada epsilon>0 existe de<a>0 tal que, para todo Esubset X com diam(E)<de<a, vale
diaml(f(E)r)<epsilon

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