Mostre que a condição imposta na definição de continuidade uniforme pode ser reformulada como se segue, em têrmos de diámetros de conjuntos: A cada
corresponde
, tal que diâm.
para todo
, com diâm.
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que a noção usual de continuidade uniforme de uma função
pode ser reescrita usando diâmetros de subconjuntos de
. O conteúdo envolve a definição de continuidade uniforme e a definição de diâmetro de um conjunto:
Passo 2
Relembremos a definição usual de continuidade uniforme. Dizemos que
é uniformemente contínua se, para todo
, existe
tal que, para quaisquer
,
Passo 3
Mostramos primeiro que continuidade uniforme implica a condição com diâmetros. Dado
, pela uniformidade existe
que serve para pares de pontos. Agora seja
com
. Então, para quaisquer
tem-se
e, pela uniformidade de
,
Como isso vale para todo par em
, o supremo dessas distâncias satisfaz
logo
.
Passo 4
Agora provamos a recíproca: a condição com diâmetros implica continuidade uniforme. Seja
e tome
tal que, para todo
com
, vale
. Dados
com
, considere o conjunto
. Tem-se
Mas
, logo
mostrando a continuidade uniforme de
.
Passo 5
Concluímos que as duas condições são equivalentes:
“Para todo existe
tal que
”
é equivalente a
“Para todo existe
tal que, se
e
, então
.”
“Para todo
é equivalente a
“Para todo
Resposta
A condição de continuidade uniforme pode ser formulada assim:
Para cada
existe
tal que, para todo
com
, vale