Seja f uma função real contínua em um espaço métrico X. Seja Z(f) (o conjunto dos zeros de f ) o conjunto de todos os p in X nos quais f(p)=0. Prove que Z(f) é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolon XtoR é contínua em um espaço métrico X, então
Z(f)=pin X mid f(p)=0
é um conjunto fechado. O conteúdo usado será a propriedade de que o inverso de um conjunto fechado pela aplicação contínua é fechado.

Passo 2

Observe que o singleton 0subsetR é fechado em R. De fato, seu complementar é
Rsetminus0=(-infty,0)cup(0,infty),
que é a união de dois intervalos abertos.

Passo 3

Pela definição de continuidade, o inverso de qualquer conjunto fechado em R é fechado em X. Em particular,
f^-1(0)
é fechado em X.

Passo 4

Note que
f^-1(0)=,pin Xmid f(p)in0=,pin Xmid f(p)=0=Z(f)
Logo Z(f) é fechado.

Resposta

Z(f) é fechado.

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