Seja
uma função real contínua em um espaço métrico
. Seja
(o conjunto dos zeros de
) o conjunto de todos os
nos quais
. Prove que
é fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é contínua em um espaço métrico
, então
é um conjunto fechado. O conteúdo usado será a propriedade de que o inverso de um conjunto fechado pela aplicação contínua é fechado.
Passo 2
Observe que o singleton
é fechado em
. De fato, seu complementar é
que é a união de dois intervalos abertos.
Passo 3
Pela definição de continuidade, o inverso de qualquer conjunto fechado em
é fechado em
. Em particular,
é fechado em
.
Passo 4
Note que
Logo
é fechado.