Suponha K e F conjuntos disjuntos em um espaço métrico X, K compacto, F fechado. Prove que existe de<a>0 tal que d(p, q)>de<a se p in K, q in F. Sugestao: rhoF é uma função contínua e positiva em K.
Mostre que a conclusão pode não ser verdadeira para dois conjuntos disjuntos e fechados, se nenhum dos dois for compacto.

Passo 1

O enunciado trabalha em um espaço métrico X com dois conjuntos disjuntos K e F, onde K é compacto e F é fechado. Queremos mostrar que existe de<a>0 tal que
d(p,q)>de<a
para todo pin K e qin F. O conteúdo principal é a definição da função distância a um conjunto e o fato de que uma função contínua em um compacto atinge mínimo.

Passo 2

Definimos a função
rhoFcolon XtoR, rhoF(x)=dl(x,Fr)=infyin Fd(x,y)
É um fato padrão que rhoF é contínua em X. Além disso, como Kcap F=varnothing, temos para todo pin K
rhoF(p)=infqin Fd(p,q)>0,
pois não há nenhum ponto de F igual a p.

Passo 3

Como rhoF é contínua em X e Ksubset X é compacto, o teorema do valor extremo garante que rhoF atinge seu mínimo em K. Logo, existe
de<a=minpin KrhoF(p)
e, por positividade de cada rhoF(p), segue de<a>0.

Passo 4

Para qualquer pin K e qualquer qin F vale
d(p,q)>=rhoF(p)>=de<a,
logo realmente d(p,q)>de<a. Isso encerra a prova do primeiro item.

Passo 5

Agora um contra-exemplo para dois conjuntos fechados disjuntos, nenhum dos quais compacto. Tome X=R com a métrica usual e defina
K=n+tfrac1n:ninN, F=n:ninN
Cada um é fechado em R (são conjuntos discretos sem pontos de acumulação finita) e Kcap F=varnothing. Mas
inf,|p-q|:pin K,,qin F =infninNl((n+tfrac1n)-nr) =infninNtfrac1n =0
Logo não existe de<a>0 que sirva simultaneamente para todos pin K e qin F.

Resposta

Existe de<a>0 sempre que um dos conjuntos (no caso K) é compacto e o outro ( F) é fechado. Porém, sem nenhuma condição de compacidade, dois fechados disjuntos podem ter distância mínima zero, como mostra o contra-exemplo acima.

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