Suponha
e
conjuntos disjuntos em um espaço métrico
compacto,
fechado. Prove que existe
tal que
se
. Sugestao:
é uma função contínua e positiva em
.
Mostre que a conclusão pode não ser verdadeira para dois conjuntos disjuntos e fechados, se nenhum dos dois for compacto.
Passo 1
O enunciado trabalha em um espaço métrico
com dois conjuntos disjuntos
e
, onde
é compacto e
é fechado. Queremos mostrar que existe
tal que
para todo
e
. O conteúdo principal é a definição da função distância a um conjunto e o fato de que uma função contínua em um compacto atinge mínimo.
Passo 2
Definimos a função
É um fato padrão que
é contínua em
. Além disso, como
, temos para todo
pois não há nenhum ponto de
igual a
.
Passo 3
Como
é contínua em
e
é compacto, o teorema do valor extremo garante que
atinge seu mínimo em
. Logo, existe
e, por positividade de cada
, segue
.
Passo 4
Para qualquer
e qualquer
vale
logo realmente
. Isso encerra a prova do primeiro item.
Passo 5
Agora um contra-exemplo para dois conjuntos fechados disjuntos, nenhum dos quais compacto. Tome
com a métrica usual e defina
Cada um é fechado em
(são conjuntos discretos sem pontos de acumulação finita) e
. Mas
Logo não existe
que sirva simultaneamente para todos
e
.
Resposta
Existe
sempre que um dos conjuntos (no caso
) é compacto e o outro (
) é fechado. Porém, sem nenhuma condição de compacidade, dois fechados disjuntos podem ter distância mínima zero, como mostra o contra-exemplo acima.