Se é um subconjunto não vazio de um espaço métrico , defina a distância de a por
(a) Prove que se, e sòmente se, pertence à aderência de .
(b) Prove que é uma função uniformemente continua em .
Sugestao: de modo que
Passo 1
O enunciado situa-se em um espaço métrico e define, para um subconjunto não vazio , a função
Queremos provar: . se, e somente se, pertence à aderência de . . é uniformemente contínua em .
Para isso precisaremos usar a definição de aderência (todo raio de bola em torno de intercepta ) e as propriedades de infimum em relação a desigualdades triangulares.
Passo 2
Provar que .
(Rightarrow) Suponha rhoE(x)=0. Então, dado qualquer varepsilon>0, por definição de infimum existe algum yin E tal que
d(x,y)<rhoE(x)+varepsilon=0+varepsilon=varepsilon
Logo, toda bola B(x,varepsilon) contém um ponto de E, e isso significa exatamente que xinE.
(Leftarrow) Suponha xinE. Então, dado varepsilon>0, existe yin E com d(x,y)<varepsilon. Assim
rhoE(x)=infzin Ed(x,z)<= d(x,y)<varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0, segue rhoE(x)=0.
Passo 3
Provar que rhoE é uniformemente contínua em X.
Seja x1,x2in X. Para qualquer yin E, a desigualdade triangular dá
d(x2,y)<= d(x2,x1)+d(x1,y)
Tomando infimum em yin E no segundo termo, obtemos
Isto mostra que rhoE é Lipschitziana de constante 1, logo uniformemente contínua: dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon para que d(x1,x2)<de<a implique l|rhoE(x2)-rhoE(x1)r|<varepsilon.
Resposta
(a) rhoE(x)=0 se, e somente se, xinE.
(b) rhoE é uniformemente contínua em X, pois satisfaz
l|rhoE(x2)-rhoE(x1)r|<= d(x1,x2)
Cálculo - Walter Rudin - Princípios de Análise Matemática - 2ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 11