Se E é um subconjunto não vazio de um espaço métrico X, defina a distância de x in X a E por
rhoE(x)=inf y in E d(x, y)
(a) Prove que rhoE(x)=0 se, e sòmente se, x pertence à aderência de E.
(b) Prove que rhoE é uma função uniformemente continua em X.
Sugestao: rhoE(x2) <= d(x2, y) <= d(x2, x1)+d(x1, y) de modo que
rhoE(x2) <= d(x2, x1)+rhoE(x1)

Passo 1

O enunciado situa-se em um espaço métrico (X,d) e define, para um subconjunto não vazio Esubset X, a função
rhoE(x)=infyin Ed(x,y)
Queremos provar:
1. rhoE(x)=0 se, e somente se, x pertence à aderência de E.
2. rhoE é uniformemente contínua em X.
Para isso precisaremos usar a definição de aderência (todo raio de bola em torno de x intercepta E) e as propriedades de infimum em relação a desigualdades triangulares.

Passo 2

Provar que rhoE(x)=0iff xinE.
( Rightarrow) Suponha rhoE(x)=0. Então, dado qualquer varepsilon>0, por definição de infimum existe algum yin E tal que
d(x,y)<rhoE(x)+varepsilon=0+varepsilon=varepsilon
Logo, toda bola B(x,varepsilon) contém um ponto de E, e isso significa exatamente que xinE.
( Leftarrow) Suponha xinE. Então, dado varepsilon>0, existe yin E com d(x,y)<varepsilon. Assim
rhoE(x)=infzin Ed(x,z)<= d(x,y)<varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0, segue rhoE(x)=0.

Passo 3

Provar que rhoE é uniformemente contínua em X.
Seja x1,x2in X. Para qualquer yin E, a desigualdade triangular dá
d(x2,y)<= d(x2,x1)+d(x1,y)
Tomando infimum em yin E no segundo termo, obtemos
rhoE(x2) =infyin Ed(x2,y) <= d(x2,x1)+infyin Ed(x1,y) = d(x2,x1)+rhoE(x1)
Invertendo os papéis de x1 e x2 chega-se a
rhoE(x1)<= d(x1,x2)+rhoE(x2)
Dessa forma
l|rhoE(x2)-rhoE(x1)r|<= d(x1,x2)
Isto mostra que rhoE é Lipschitziana de constante 1, logo uniformemente contínua: dado varepsilon>0, basta escolher de<a=varepsilon para que d(x1,x2)<de<a implique
l|rhoE(x2)-rhoE(x1)r|<varepsilon.

Resposta

(a) rhoE(x)=0 se, e somente se, xinE.
(b) rhoE é uniformemente contínua em X, pois satisfaz
l|rhoE(x2)-rhoE(x1)r|<= d(x1,x2)

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