Mostre que nas curvas de nível de densidade populacional constante, ou seja, nas curvas da forma
, em que
é uma constante, a razão
é dada por
Usando essa expressão, é possível mostrar que
, o que nos dá uma fórmula para a taxa de expansão da população.
Passo 1
O enunciado parte da forma analítica (linearizada) da solução da equação de Fisher–KPP com massa inicial
, coeficiente de difusão
e taxa de crescimento
:
Queremos achar, na curva de nível
(com
constante), a razão
e mostrar que, para
, ela se aproxima de
.
Passo 2
Impondo
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Isolamos o termo
:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Dividindo por
para ficar com
:
Como
, isso dá
Agora note que
Renomeando
para
(absorvendo um fator constante em
) chegamos à forma desejada:
Passo 5
Para
grande,
e
, logo