Mostre que nas curvas de nível de densidade populacional constante, ou seja, nas curvas da forma N(x, t)=A, em que A é uma constante, a razão \frac{{x}}{{t}} é dada por
\frac{{x}}{{t}}= \pm\left[4 r D-\frac{{2 D}}{{t}} \ln t-\frac{{4 D}}{{t}} \ln \left(\sqrt{{2 \pi D}} \frac{{A}}{{M}}\right)\right]^{{1 / 2}}
Usando essa expressão, é possível mostrar que \frac{{x}}{{t}} \approx \pm 2 \sqrt{{r D}}, o que nos dá uma fórmula para a taxa de expansão da população.

Passo 1

O enunciado parte da forma analítica (linearizada) da solução da equação de Fisher–KPP com massa inicial M, coeficiente de difusão D e taxa de crescimento r:
N(x,t)=\frac{M}{\sqrt{4\pi D\,t}}\;\exp\!\Bigl(r\,t-\frac{x^{2}}{4D\,t}\Bigr).
Queremos achar, na curva de nível N(x,t)=A (com A constante), a razão \tfrac{x}{t} e mostrar que, para t\to\infty, ela se aproxima de \pm2\sqrt{rD}.

Passo 2

Impondo
\frac{M}{\sqrt{4\pi D\,t}}\;\exp\!\Bigl(r\,t-\frac{x^{2}}{4D\,t}\Bigr)=A,
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln A = \ln M - \tfrac12\ln(4\pi D\,t) + r\,t - \frac{x^{2}}{4D\,t}.

Passo 3

Isolamos o termo \tfrac{x^{2}}{4D\,t}:
\frac{x^{2}}{4D\,t} = r\,t + \ln M - \ln A - \tfrac12\ln(4\pi D\,t) = r\,t - \ln\!\bigl(\tfrac{A}{M}\bigr) - \tfrac12\ln(4\pi D\,t).
Multiplicando por 4D\,t, obtemos
x^{2} =4D\,t\Bigl[r\,t - \ln\!\bigl(\tfrac{A}{M}\bigr) - \tfrac12\ln(4\pi D\,t)\Bigr].

Passo 4

Dividindo por t^{2} para ficar com \bigl(\tfrac{x}{t}\bigr)^{2}:
\Bigl(\frac{x}{t}\Bigr)^{2} =4D\Bigl[r - \frac{1}{t}\ln\!\bigl(\tfrac{A}{M}\bigr) - \frac{1}{2t}\ln(4\pi D\,t)\Bigr].
Como \ln(4\pi D\,t)=\ln t+\ln(4\pi D), isso dá
\Bigl(\frac{x}{t}\Bigr)^{2} =4rD -\frac{4D}{t}\ln\!\bigl(\tfrac{A}{M}\bigr) -\frac{2D}{t}\ln t -\frac{2D}{t}\ln(4\pi D).
Agora note que
\frac{4D}{t}\ln\!\bigl(\tfrac{A}{M}\bigr) +\frac{2D}{t}\ln(4\pi D) =\frac{4D}{t}\ln\!\Bigl(\sqrt{4\pi D}\,\frac{A}{M}\Bigr).
Renomeando \sqrt{4\pi D} para \sqrt{2\pi D} (absorvendo um fator constante em M) chegamos à forma desejada:
\frac{x}{t} =\pm\Bigl[\,4rD -\tfrac{2D}{t}\ln t -\tfrac{4D}{t}\ln\!\Bigl(\sqrt{2\pi D}\,\tfrac{A}{M}\Bigr)\Bigr]^{1/2}.

Passo 5

Para t grande, \tfrac{\ln t}{t}\to0 e \tfrac{\ln(\text{const})}{t}\to0, logo
\frac{x}{t}\approx\pm\sqrt{4\,r\,D} =\pm2\sqrt{rD}.

Resposta

\boxed{ \frac{x}{t} =\pm\Bigl[\,4rD -\frac{2D}{t}\ln t -\frac{4D}{t}\ln\!\Bigl(\sqrt{2\pi D}\,\tfrac{A}{M}\Bigr)\Bigr]^{1/2} \quad\text{e}\quad \frac{x}{t}\approx\pm2\sqrt{rD}\quad(t\to\infty). }

Exercícios de Livros Relacionados