Use a indução matemática para mostrar que 2^{n}>n^{3} sempre que n for um número inteiro maior que 9.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
2^n > n^3
sempre que n for um inteiro maior que 9. O conteúdo aqui é o princípio de indução fraca: verificamos um caso base e depois mostramos que, se vale para n=k, vale também para n=k+1.

Passo 2

Caso base n=10:
Calculamos
2^{10} = 1024
e
10^3 = 1000.
Como 1024 > 1000, temos que a desigualdade vale para n=10.

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum inteiro k\ge10, valha
2^k > k^3.

Passo 4

Passo de indução (mostrar para n=k+1):
Partimos de
2^{k+1} = 2\cdot 2^k.
Pela hipótese de indução, 2^k > k^3, então
2^{k+1} > 2\,k^3.
Basta agora ver que
2\,k^3 > (k+1)^3.
Note que
2\,k^3 - (k+1)^3 = k^3 - 3k^2 - 3k - 1.
Para k\ge10 temos
k^3 \ge 1000 \quad\text{e}\quad 3k^2 + 3k + 1 \le 3\cdot100 + 30 + 1 = 331,
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2\,k^3 - (k+1)^3 \ge 1000 - 331 = 669 > 0,
o que implica 2\,k^3 > (k+1)^3. Portanto
2^{k+1} > (k+1)^3.

Passo 5

Concluímos, pelo princípio da indução, que
2^n > n^3
vale para todo inteiro n\ge10, ou seja, sempre que n for maior que 9.

Resposta

A desigualdade 2^n > n^3 é verdadeira para todo inteiro n>9.

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