Use a indução matemática para mostrar que
sempre que
for um número inteiro maior que 9.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
sempre que
for um inteiro maior que 9. O conteúdo aqui é o princípio de indução fraca: verificamos um caso base e depois mostramos que, se vale para
, vale também para
.
Passo 2
Caso base
:
Calculamos
Calculamos
e
Como
, temos que a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que, para algum inteiro , valha
Suponha que, para algum inteiro
Passo 4
Passo de indução (mostrar para
):
Partimos de
Partimos de
Pela hipótese de indução,
, então
Basta agora ver que
Note que
Para
temos
logo
o que implica
. Portanto
Passo 5
Concluímos, pelo princípio da indução, que
vale para todo inteiro
, ou seja, sempre que
for maior que 9.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.