Mostre que
1i^2 i=exp [(4 n+1) pi] (n=0, pm 1, pm 2, ldots).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Aqui usamos o conceito de potência complexa via a exponencial e o logaritmo complexo—ou seja, para quaisquer e definimos
onde é o logaritmo multivalorado de .

Passo 2

Precisamos do logaritmo de . Em coordenadas polares, , mas como o argumento é multivalorado:

Passo 3

Agora calculamos usando a definição de potência:

Passo 4

Por fim, invertemos para obter
1i^2i = expl((4n+1)pir),
mostrando exatamente a forma pedida.

Resposta

1i^2i = expl[(4n+1)pir], n=0,pm1,pm2,dots

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