Mostre que se z neq 0 e se a for um número real, então |z^a|=exp (a ln |z|)=|z|^a se tomarmos o valor principal de |z|^a.
7. Seja c=a+b i um número complexo fixado, com c neq 0, pm 1, pm 2, ldots Observe que i^c é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante c para que |i^c| tenha somente um único valor?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que, para e , tomando-se o ramo principal de , vale
  1. Para fixo e distinto de , entender por que é multivalente e descobrir qual condição adicional em garante que seja único.
Conteúdo: uso da definição com o ramo principal do logaritmo complexo.

Passo 2

Definimos o ramo principal do logaritmo como
onde . Logo,

Passo 3

Tirando o módulo em ambos os lados:
Mas é real e positivo, e . Portanto

Passo 4

Agora, para note que tem e . Assim, usando todos os ramos do logaritmo:

Passo 5

Escrevendo c=a+bi, temos
i,c=(a+bi),i=-b + i,a
Então
i^c =expl((-b+i,a),(tfracpi2+2pi k)r) =expl(-b(tfracpi2+2pi k)r);expl(i,a(tfracpi2+2pi k)r)
O módulo é
lvert i^crvert =expl(-b(tfracpi2+2pi k)r)
Como aparece o índice k, lvert i^crvert assume diferentes valores, a menos que o fator que multiplica k seja zero.

Passo 6

Para que o módulo fique independente de k, precisamos
-b,(2pi k)=0forall kinZ
Isto obriga b=0, ou seja, Im(c)=0.

Resposta

A restrição adicional é que a parte imaginária de c seja zero. Em outras palavras, para que lvert i^crvert seja único é necessário e suficiente que
Im(c)=0,
ou seja, c seja real.

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