Mostre que se
e se
for um número real, então
se tomarmos o valor principal de
.
7. Seja
um número complexo fixado, com
Observe que
é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante
para que
tenha somente um único valor?
7. Seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que, para
e , tomando-se o ramo principal de , vale
- Para
fixo e distinto de , entender por que é multivalente e descobrir qual condição adicional em garante que seja único.
Conteúdo: uso da definição com o ramo principal do logaritmo complexo.
Passo 2
Definimos o ramo principal do logaritmo como
onde . Logo,
Passo 3
Tirando o módulo em ambos os lados:
Mas
é real e positivo, e
. Portanto
Passo 4
Agora, para
note que
tem
e . Assim, usando todos os ramos do logaritmo:
Passo 5
Escrevendo
, temos
Então
O módulo é
Como aparece o índice
,
assume diferentes valores, a menos que o fator que multiplica
seja zero.
Passo 6
Para que o módulo fique independente de
, precisamos
Isto obriga
, ou seja,
.
Resposta
A restrição adicional é que a parte imaginária de
seja zero. Em outras palavras, para que
seja único é necessário e suficiente que
ou seja,
seja real.