Sejam c, c1, c2 e z números complexos, com z neq 0. Supondo que todos os valores envolvidos sejam principais, prove que
(z^c)^n=z^c n (n=1,2, ldots).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando valores principais, vale a propriedade
l(z^cr)^n=z^c,n,
para todo inteiro n>=1. O conteúdo aqui é a definição de potência complexa via logaritmo principal e depois usar as propriedades do exponencial complexo.

Passo 2

Definimos o logaritmo principal de por
onde . Então a potência principal de elevada a é

Passo 3

Pela mesma definição, a potência principal de elevada a é
Em particular, tomando , temos

Passo 4

Agora usamos que
e o logaritmo principal reaplica um corte de ramo para que
. Logo existe tal que

Passo 5

Substituindo isso em , obtemos
Mas , pois . Assim

Passo 6

Finalmente reconhecemos que, por definição,
já que . Portanto concluímos a igualdade desejada.

Resposta

l(z^cr)^n=z^c,n,
para todo inteiro n>=1, usando valores principais.

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