Sejam
e
números complexos, com
. Supondo que todos os valores envolvidos sejam principais, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando valores principais, vale a propriedade
para todo inteiro
. O conteúdo aqui é a definição de potência complexa via logaritmo principal e depois usar as propriedades do exponencial complexo.
Passo 2
Definimos o logaritmo principal de
por
onde . Então a potência principal de
elevada a
é
Passo 3
Pela mesma definição, a potência principal de
elevada a
é
Em particular, tomando
, temos
Passo 4
Agora usamos que
e o logaritmo principal reaplica um corte de ramo para que
. Logo existe tal que
. Logo existe
Passo 5
Substituindo isso em
, obtemos
Mas
, pois
. Assim
Passo 6
Finalmente reconhecemos que, por definição,
já que . Portanto concluímos a igualdade desejada.
Resposta
para todo inteiro
, usando valores principais.