Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função
definida em
:
– mostrar que há um único ponto crítico ,
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– determinar extremos absolutos e
(se existirem),
– esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar pontos críticos, o teste da segunda derivada para classificar e limites em e
para ver extremos absolutos.
– mostrar que há um único ponto crítico
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– determinar extremos absolutos
– esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar pontos críticos, o teste da segunda derivada para classificar e limites em
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e achamos o ponto crítico:
Impondo
dá
Como a equação cúbica tem só essa solução em
, há exatamente um ponto crítico.
Passo 3
Usamos a segunda derivada para classificar:
Como
, o ponto
é um mínimo relativo.
Passo 4
Para ver extremos absolutos, calculamos
e os limites nos extremos do domínio:
Em
,
e em
,
Logo não há máximo absoluto e existe um mínimo absoluto em
.
Passo 5
O gráfico tem assimptota vertical em
com
, decresce até o mínimo em
com valor
e depois cresce para
quando
.
Resposta
O único ponto crítico é
é um mínimo relativo (e também absoluto) com valor
não existe máximo absoluto. O gráfico tem assimptota vertical em
, atinge o mínimo em
e sobe para
conforme
.