Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^2+(1 / x), 0<x<infty

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^2+1x
definida em (0,infty):
– mostrar que há um único ponto crítico x0,
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– determinar extremos absolutos M e m (se existirem),
– esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar pontos críticos, o teste da segunda derivada para classificar e limites em 0^+ e +infty para ver extremos absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos o ponto crítico:
f'(x)=2x-1x^2
Impondo f'(x)=0
2x=1x^2 Longrightarrow 2x^3=1 Longrightarrow x^3=12 Longrightarrow x0=l(tfrac12r)^1/3
Como a equação cúbica tem só essa solução em (0,infty), há exatamente um ponto crítico.

Passo 3

Usamos a segunda derivada para classificar:
f''(x)=2+2x^3>0 forall,x>0
Como f''(x0)>0, o ponto x0 é um mínimo relativo.

Passo 4

Para ver extremos absolutos, calculamos f(x0) e os limites nos extremos do domínio:
f(x0) =l(2^-1/3r)^2+12^-1/3 =2^-2/3+2^1/3 =3cdot2^-2/3
Em ,xto0^+,
f(x)sim1xto+infty,
e em ,xto+infty,
f(x)sim x^2to+infty
Logo não há máximo absoluto e existe um mínimo absoluto em x0.

Passo 5

O gráfico tem assimptota vertical em x=0 com f(x)to+infty, decresce até o mínimo em x0=(tfrac12)^1/3 com valor
m=f(x0)=3cdot2^-2/3,
e depois cresce para +infty quando xto+infty.

Resposta

O único ponto crítico é
x0=l(tfrac12r)^1/3,
é um mínimo relativo (e também absoluto) com valor
m=3cdot2^-2/3,
não existe máximo absoluto. O gráfico tem assimptota vertical em x=0, atinge o mínimo em x0 e sobe para +infty conforme xto+infty.

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