Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^3-6 x^2+9 x-3, 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3
no intervalo fechado [0,2].
Conteúdo: cálculo de pontos críticos, classificação via segunda derivada, e busca de máximos e mínimos absolutos em intervalo fechado.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
y' = ddxl(x^3 - 6x^2 + 9x - 3r) = 3x^2 - 12x + 9 = 3,(x^2 - 4x + 3) = 3,(x-1),(x-3)
As raízes de y'=0 são x=1 e x=3, mas só x=1 pertence ao intervalo [0,2]. Logo existe exatamente um ponto crítico x0=1.

Passo 3

Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(3x^2-12x+9) = 6x - 12
Em x=1 temos
y''(1) = 6cdot1 - 12 = -6 < 0,
o que implica que x=1 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Agora avaliamos a função nos extremos do intervalo e em x=1:
y(0) = 0 - 0 + 0 - 3 = -3,
y(1) = 1 - 6 + 9 - 3 = 1,
y(2) = 8 - 24 + 18 - 3 = -1

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor é y(1)=1, logo o máximo absoluto no intervalo é M = 1 em x=1
  • O menor valor é y(0)=-3, logo o mínimo absoluto no intervalo é m = -3 em x=0

Resposta

O único ponto crítico em [0,2] é x0=1, que é um máximo relativo.
O máximo absoluto no intervalo é
M = 1 ocorrido em x=1,
e o mínimo absoluto é
m = -3 ocorrido em x=0
O gráfico inicia em (0,-3), cresce até o ponto de máximo (1,1) e depois decresce até (2,-1), sendo a curva totalmente côncava para baixo em [0,2].

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