Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
no intervalo fechado
.
Conteúdo: cálculo de pontos críticos, classificação via segunda derivada, e busca de máximos e mínimos absolutos em intervalo fechado.
Conteúdo: cálculo de pontos críticos, classificação via segunda derivada, e busca de máximos e mínimos absolutos em intervalo fechado.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
As raízes de
são
e
, mas só
pertence ao intervalo
. Logo existe exatamente um ponto crítico
.
Passo 3
Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada:
Em
temos
o que implica que
é ponto de máximo relativo.
Passo 4
Agora avaliamos a função nos extremos do intervalo e em
:
Passo 5
Comparando os valores:
- O maior valor é
, logo o máximo absoluto no intervalo é - O menor valor é
, logo o mínimo absoluto no intervalo é
Resposta
O único ponto crítico em
é
, que é um máximo relativo.
O máximo absoluto no intervalo é
O máximo absoluto no intervalo é
e o mínimo absoluto é
O gráfico inicia em
, cresce até o ponto de máximo
e depois decresce até
, sendo a curva totalmente côncava para baixo em
.