Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=sen x+cos x, 0 <= x <= pi

Passo 1

Estamos estudando a função
y = sin x + cos x
no intervalo [0,pi]. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde y'=0), classificar se são máximos ou mínimos relativos, determinar os extremos absolutos nesse intervalo e rascunhar o gráfico. Para isso precisaremos derivar a função, resolver a equação y'=0, aplicar o teste da segunda derivada (ou analisar o sinal de y'), e comparar y nos pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada:
y' = ddx(sin x + cos x) = cos x - sin x
Para achar pontos críticos, resolvemos
cos x - sin x = 0 Long<=ftrightarrow tan x = 1
No intervalo [0,pi] a única solução é
x0 = pi4

Passo 3

Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(cos x - sin x) = -sin x - cos x
Em x0=pi/4 temos
y''l(tfracpi4r) = -raiz22 - raiz22 = -raiz2 < 0,
logo x0 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Agora calculamos y em x0 e nos extremos do intervalo:
yl(tfracpi4r) = sintfracpi4 + costfracpi4 = raiz22 + raiz22 = raiz2,
y(0) = sin0 + cos0 = 0 + 1 = 1,
y(pi) = sinpi + cospi = 0 - 1 = -1
Comparando esses valores, o maior é raiz2 e o menor é -1.

Passo 5

Para ajudar a desenhar, note que
sin x + cos x = raiz2,sin!l(x + tfracpi4r),
ou seja, é uma senóide de amplitude raiz2 deslocada em fase. No gráfico em [0,pi] ela parte de y(0)=1, atinge raiz2 em x=pi/4, decresce passando por y(pi/2)=1, chega a zero em x=3pi/4 e atinge -1 em x=pi.

Resposta

O único ponto crítico é
x0 = pi4,
que é um máximo relativo. O máximo absoluto no intervalo é
M = yl(tfracpi4r) = raiz2,
e o mínimo absoluto é
m = y(pi) = -1

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