Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
Estamos estudando a função
no intervalo
. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde
), classificar se são máximos ou mínimos relativos, determinar os extremos absolutos nesse intervalo e rascunhar o gráfico. Para isso precisaremos derivar a função, resolver a equação
, aplicar o teste da segunda derivada (ou analisar o sinal de
), e comparar
nos pontos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Calculamos a derivada:
Para achar pontos críticos, resolvemos
No intervalo
a única solução é
Passo 3
Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada:
Em
temos
logo
é ponto de máximo relativo.
Passo 4
Agora calculamos
em
e nos extremos do intervalo:
Comparando esses valores, o maior é
e o menor é
.
Passo 5
Para ajudar a desenhar, note que
ou seja, é uma senóide de amplitude
deslocada em fase. No gráfico em
ela parte de
, atinge
em
, decresce passando por
, chega a zero em
e atinge
em
.
Resposta
O único ponto crítico é
que é um máximo relativo. O máximo absoluto no intervalo é
e o mínimo absoluto é