Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=raizx(2-x), 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função
y=raizx(2-x), 0<= x<=2
e mostrarmos que existe um único ponto crítico x0 no intervalo, classificá-lo como máximo ou mínimo relativo, encontrar os extremos absolutos M e m e esboçar o gráfico. Para isso vamos precisar de domínio, derivada (regra da cadeia) e teste de monotonicidade.

Passo 2

Antes de derivar, note que
y=(x(2-x))^1/2
O domínio em que o radicando é não-negativo é exatamente [0,2]. Aplicando a regra da cadeia e o produto dentro do raiz, temos
y' = 12raizx(2-x);ddxl(x(2-x)r) = 12raizx(2-x),(2-2x) = 2(1-x)2raizx(2-x) = 1-xraizx(2-x)

Passo 3

Procuramos pontos críticos onde y'=0 ou y' não existe (no interior do domínio):
  • y'=0 se e só se 1-x=0, ou seja x=1.
  • y' é indefinida em x=0 ou x=2, mas esses são os extremos do intervalo fechado, não pontos críticos internos.
    Logo existe somente um ponto crítico interno:
x0=1

Passo 4

Para classificar x0=1 fazemos o teste de monotonicidade:
  • Se 0<x<1, então 1-x>0 e raizx(2-x)>0, logo y'>0 (função cresce).
  • Se 1<x<2, então 1-x<0, logo y'<0 (função decresce).
    Portanto em x=1 a função muda de crescente para decrescente: é um máximo relativo.

Passo 5

Agora avaliamos os valores nos pontos críticos e nas fronteiras para achar extremos absolutos:
y(0)=raiz0cdot2=0, y(1)=raiz1cdot1=1, y(2)=raiz2cdot0=0
  • O maior valor é y(1)=1, logo o máximo absoluto é
M = 1em x=1
  • O menor valor é y(0)=y(2)=0, logo o mínimo absoluto é
m = 0em x=0,2

Passo 6

Para esboçar o gráfico, note que elevando ao quadrado temos
y^2 = x(2-x);Longrightarrow;y^2+(x-1)^2=1,
que é o semicírculo superior de raio 1 centrado em (1,0). Assim o gráfico parte de (0,0), sobe até (1,1) e desce simetricamente até (2,0).

Resposta

Ponto crítico interno: x0=1, que é máximo relativo.
Máximo absoluto M=1 em x=1.
Mínimo absoluto m=0 em x=0 e x=2.

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