Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função
e mostrarmos que existe um único ponto crítico
no intervalo, classificá-lo como máximo ou mínimo relativo, encontrar os extremos absolutos
e
e esboçar o gráfico. Para isso vamos precisar de domínio, derivada (regra da cadeia) e teste de monotonicidade.
Passo 2
Antes de derivar, note que
O domínio em que o radicando é não-negativo é exatamente
. Aplicando a regra da cadeia e o produto dentro do raiz, temos
Passo 3
Procuramos pontos críticos onde
ou
não existe (no interior do domínio):
-
se e só se , ou seja . -
é indefinida em ou , mas esses são os extremos do intervalo fechado, não pontos críticos internos.
Logo existe somente um ponto crítico interno:
Passo 4
Para classificar
fazemos o teste de monotonicidade:
- Se
, então e , logo (função cresce). - Se
, então , logo (função decresce).
Portanto ema função muda de crescente para decrescente: é um máximo relativo.
Passo 5
Agora avaliamos os valores nos pontos críticos e nas fronteiras para achar extremos absolutos:
- O maior valor é
, logo o máximo absoluto é
- O menor valor é
, logo o mínimo absoluto é
Passo 6
Para esboçar o gráfico, note que elevando ao quadrado temos
que é o semicírculo superior de raio
centrado em
. Assim o gráfico parte de
, sobe até
e desce simetricamente até
.
Resposta
Ponto crítico interno:
, que é máximo relativo.
Máximo absoluto em
.
Mínimo absoluto em
e
.
Máximo absoluto
Mínimo absoluto