Mostre que \int_{-a}^{a} e^{-u^{2}} d u=\sqrt{\pi} \operatorname{erf}(a).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a integral da função gaussiana e^{-u^2} no intervalo simétrico de -a a a pode ser expressa em termos da função erro (error function). O conteúdo-chave aqui é (1) a definição da função erro e (2) a paridade (simetria) de e^{-u^2}.

Passo 2

Lembremos a definição da função erro \operatorname{erf}(x):
\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, dt.
Ou seja,
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x).

Passo 3

Observamos que e^{-u^{2}} é uma função par, isto é, e^{-(-u)^{2}}=e^{-u^{2}}. Para qualquer função par f, vale
\int_{-a}^{a} f(u)\,du = 2 \int_{0}^{a} f(u)\,du.
Aplicando a essa integral, obtemos
\int_{-a}^{a} e^{-u^{2}} \, du = 2 \int_{0}^{a} e^{-u^{2}} \, du.

Passo 4

Substituindo a expressão de \int_{0}^{a} e^{-u^{2}}\,du vinda da definição de \operatorname{erf}(a), temos
\int_{-a}^{a} e^{-u^{2}} \, du = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(a) = \sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(a).

Resposta

\int_{-a}^{a} e^{-u^{2}} \, du = \sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(a).

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