Seja a >0 um inteiro tal que m d c(a, 5)=1. Mostre que, para todo inteiro n>0, vale:
a^8 n+3 a^4 n+1 equiv 0(bmod 5)

Passo 1

O enunciado diz que a>0 é inteiro com gcd(a,5)=1 e pede para mostrar que, para todo inteiro n>0,
a^8n+3a^4n+1equiv0pmod5
O conteúdo aqui é teoria de congruências em Z, mais precisamente o uso do Pequeno Teorema de Fermat para módulo primo.

Passo 2

Como gcd(a,5)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat temos
a^5-1 = a^4 equiv 1 pmod5

Passo 3

Eleve a congruência anterior a potências inteiras:
a^8n = l(a^4r)^2n equiv 1^2n = 1 pmod5,
a^4n = l(a^4r)^n equiv 1^n = 1 pmod5

Passo 4

Substituindo essas equivalências em a^8n+3a^4n+1, obtemos
a^8n+3a^4n+1 equiv 1 + 3cdot1 + 1 = 5 equiv 0 pmod5

Resposta

Como a^8n+3a^4n+1equiv0pmod5 para todo n>0, a afirmação está provada.

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