Mostre que:
lim (2^n+1+3^n+12^n+3^n)=3

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limntoinfty2^n+1+3^n+12^n+3^n
O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo potências, e vamos usar a ideia de fatorar pelo termo que domina (o maior crescimento) e depois aplicar limites de termos do tipo (r)^n com |r|<1.

Passo 2

Vamos fatorar 3^n em numerador e denominador para evidenciar a razão tfrac23. Temos:
2^n+1+3^n+12^n+3^n = 3^n!l(2^n+1/3^n +3r)3^n!l(2^n/3^n +1r) = 2,(2/3)^n +3(2/3)^n +1

Passo 3

Observe que (2/3)^n é uma progressão geométrica com razão tfrac23, onde l|tfrac23r|<1. Logo,
limntoinfty(2/3)^n = 0

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão simplificada,
limntoinfty2,(2/3)^n +3(2/3)^n +1 = 2cdot 0 + 30 + 1 = 3

Resposta

3

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