Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
13

Passo 1

O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal das frações irredutíveis tfracn13 (com gcd(n,13)=1). Na teoria de dízimas periódicas, esse período é dado pela ordem multiplicativa de 10 no grupo (Z/13Z)^times.

Passo 2

Como 13 é primo e gcd(n,13)=1, toda fração tfracn13 tem período igual a
ord13(10),
que é o menor inteiro k>0 tal que
10^k equiv 1 pmod13

Passo 3

Calculamos as potências de 10 módulo 13 até obter 1:
10^1 equiv 10 pmod13,
10^2 equiv 100 equiv 9 pmod13,
10^3 equiv 9cdot10 = 90 equiv 12 pmod13,
10^4 equiv 12cdot10 = 120 equiv 3 pmod13,
10^5 equiv 3cdot10 = 30 equiv 4 pmod13,
10^6 equiv 4cdot10 = 40 equiv 1 pmod13
O menor k para o qual 10^kequiv1 é k=6.

Resposta

O número de algarismos do período é 6.

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