15.10.18 Mostre que
Lcosh a t cos a t=s^3s^4+4 a^4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Lcosh(a t),cos(a t)=s^3s^4+4a^4
Aqui o conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. A definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
  1. A propriedade linear e a transformada conhecida
Lcosh(beta t)(s)=ss^2-beta^2,
válida para Re(s)>lvertRe(beta)rvert.

Passo 2

Para usar a linearidade, escrevemos cosh(a t)cos(a t) como soma de duas funções do tipo cosh(mu t). Usando
cosh xcos y=14l(e^x+e^-xr)l(e^iy+e^-iyr) =12l[cosh(x+iy)+cosh(x-iy)r],
com x=a t e y=a t, obtemos
cosh(a t)cos(a t) =12l[coshl((1+i)a,tr)+coshl((1-i)a,tr)r]

Passo 3

Aplicando agora a transformada de Laplace e usando a linearidade, temos
Lcosh(a t)cos(a t) =12gl[Lcosh((1+i)a,t) +Lcosh((1-i)a,t)gr]
Como Lcosh(mu t)(s)=s/(s^2-mu^2), isso vira
12gl[ss^2-((1+i)a)^2 +ss^2-((1-i)a)^2gr]

Passo 4

Agora calculamos ((1pm i)a)^2=a^2(1pm i)^2=a^2(pm2i). Logo os denominadores são s^2-2i,a^2 e s^2+2i,a^2. Somando as frações:
12,sl[(s^2+2i,a^2)+(s^2-2i,a^2)r] (s^2-2i,a^2)(s^2+2i,a^2) =12,2s^3s^4-(2i,a^2)^2 =s^3s^4+4a^4

Resposta

Lcosh(a t)cos(a t)(s) =s^3s^4+4a^4

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