15.10.20 Mostre que
L(t^2-k^2)^-1 / 2 u(t-k)=K0(k s)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=1raizt^2-k^2,u(t-k),
onde u(t-k) é o degrau de Heaviside com descontinuidade em t=k>0.
Vamos usar a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt,
e mostrar que o resultado coincide com a função modificada de Bessel de segunda espécie K0(k,s).

Passo 2

Escrevemos a integral de Laplace, observando que u(t-k) anula f(t) para t<k:
Lf(t)(s) =integral0^inftyu(t-k)raizt^2-k^2,e^-st,dt =integralk^inftye^-straizt^2-k^2,dt

Passo 3

Para resolver
I(s)=integralk^inftye^-straizt^2-k^2,dt,
fazemos a mudança de variável típica para Bessel modificado:
t = kcosh u, u>=0
Então
dt = ksinh u,du, raizt^2-k^2=raizk^2cosh^2u-k^2=ksinh u
Logo o integrando fica
e^-s,(kcosh u)ksinh u,(ksinh u),du =e^-k,scosh u,du,
e os limites t=kmapsto u=0, ttoinftymapsto utoinfty.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
I(s)=integral0^inftye^-k,scosh u,du
Pela definição integral da função modificada de Bessel de segunda espécie de ordem zero, temos
K0(z)=integral0^inftye^-zcosh u,du
Tomando z=k,s, conclui-se
I(s)=K0(k,s)

Resposta

Ll(t^2-k^2)^-1/2,u(t-k)r(s)=K0(k,s)

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