15.10.20 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
onde
é o degrau de Heaviside com descontinuidade em
.
Vamos usar a definição
Vamos usar a definição
e mostrar que o resultado coincide com a função modificada de Bessel de segunda espécie
.
Passo 2
Escrevemos a integral de Laplace, observando que
anula
para
:
Passo 3
Para resolver
fazemos a mudança de variável típica para Bessel modificado:
Então
Logo o integrando fica
e os limites
,
.
Passo 4
Substituindo na integral, obtemos
Pela definição integral da função modificada de Bessel de segunda espécie de ordem zero, temos
Tomando
, conclui-se