15.10.5 Expressando J_{0}(t) como uma integral de contorno, aplique a operação de transformada de Laplace, inverta a ordem de integração e, assim, mostre que
\mathcal{L}\left\{J_{0}(t)\right\}=\left(s^{2}+1\right)^{-1 / 2}, \quad \text { para } s>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathcal{L}\{J_{0}(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}J_{0}(t)\,dt=(s^{2}+1)^{-1/2},\quad s>0
usando a representação de contorno
J_{0}(t)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{e^{\tfrac t2(z-1/z)}}{z}\,dz.
Vamos aplicar a transformada de Laplace, inverter a ordem de integração e em seguida usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Inserindo a representação de J_{0}(t) dentro da integral de Laplace e trocando as integrais (válido para \Re(s)>0):
\mathcal{L}\{J_{0}(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}J_{0}(t)\,dt =\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\Bigl(\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{\tfrac{t}{2}(z-1/z)}\,dt\Bigr)\,dz.

Passo 3

Calculamos a integral interna em t:
\int_{0}^{\infty}e^{-st+\tfrac{t}{2}(z-1/z)}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-t\bigl(s-\tfrac{z-1/z}{2}\bigr)}\,dt =\frac{1}{s-\tfrac{z-1/z}{2}} =\frac{2}{2s - z + 1/z}.

Passo 4

Substituindo na integral de contorno e simplificando o integrando:
\mathcal{L}\{J_{0}(t)\} =\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,\frac{2}{2s - z +1/z}\,dz =\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{2\,dz}{2s\,z - z^{2} +1}.

Passo 5

O polinômio do denominador é
2s\,z - z^{2} +1 = -\bigl(z^{2}-2s\,z -1\bigr) =-(z-z_{1})(z-z_{2}),
com
z_{1,2}=s\pm\sqrt{s^{2}+1}.
Para s>0 temos |z_{1}|<1 e |z_{2}|>1, de modo que somente z_{1} está dentro do círculo unitário.

Passo 6

Usando o Teorema dos Resíduos, a integral vale 2\pi i vezes o resíduo de
f(z)=\frac{2}{2s\,z - z^{2} +1} =-\frac{2}{(z-z_{1})(z-z_{2})}
em z=z_{1}. Calculamos
\operatorname{Res}(f,z_{1}) =-2\;\frac{1}{z_{1}-z_{2}} =-2\;\frac{1}{(s-\sqrt{s^{2}+1})-(s+\sqrt{s^{2}+1})} =\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}}.
Logo
\mathcal{L}\{J_{0}(t)\} =\frac{1}{2\pi i}\;2\pi i\;\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}} =\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}}.

Resposta

\mathcal{L}\{J_{0}(t)\}=(s^{2}+1)^{-1/2},\quad s>0.

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