15.10.5 Expressando
como uma integral de contorno, aplique a operação de transformada de Laplace, inverta a ordem de integração e, assim, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando a representação de contorno
Vamos aplicar a transformada de Laplace, inverter a ordem de integração e em seguida usar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Inserindo a representação de
dentro da integral de Laplace e trocando as integrais (válido para
):
Passo 3
Calculamos a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo na integral de contorno e simplificando o integrando:
Passo 5
O polinômio do denominador é
com
Para
temos
e
, de modo que somente
está dentro do círculo unitário.
Passo 6
Usando o Teorema dos Resíduos, a integral vale
vezes o resíduo de
em
. Calculamos
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