15.10.5 Expressando J0(t) como uma integral de contorno, aplique a operação de transformada de Laplace, inverta a ordem de integração e, assim, mostre que
LJ0(t)=(s^2+1)^-1 / 2, para s>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
LJ0(t)=integral0^inftye^-stJ0(t),dt=(s^2+1)^-1/2, s>0
usando a representação de contorno
J0(t)=12pi ioint|z|=1e^tfrac t2(z-1/z)z,dz
Vamos aplicar a transformada de Laplace, inverter a ordem de integração e em seguida usar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Inserindo a representação de J0(t) dentro da integral de Laplace e trocando as integrais (válido para Re(s)>0):
LJ0(t) =integral0^inftye^-stJ0(t),dt =12pi ioint|z|=11zl(integral0^inftye^-st,e^tfract2(z-1/z),dtr),dz

Passo 3

Calculamos a integral interna em t:
integral0^inftye^-st+tfract2(z-1/z),dt =integral0^inftye^-tl(s-tfracz-1/z2r),dt =1s-tfracz-1/z2 =22s - z + 1/z

Passo 4

Substituindo na integral de contorno e simplificando o integrando:
LJ0(t) =12pi ioint|z|=11z,22s - z +1/z,dz =12pi ioint|z|=12,dz2s,z - z^2 +1

Passo 5

O polinômio do denominador é
2s,z - z^2 +1 = -l(z^2-2s,z -1r) =-(z-z1)(z-z2),
com
z1,2=spmraizs^2+1
Para s>0 temos |z1|<1 e |z2|>1, de modo que somente z1 está dentro do círculo unitário.

Passo 6

Usando o Teorema dos Resíduos, a integral vale 2pi i vezes o resíduo de
f(z)=22s,z - z^2 +1 =-2(z-z1)(z-z2)
em z=z1. Calculamos
Res(f,z1) =-2;1z1-z2 =-2;1(s-raizs^2+1)-(s+raizs^2+1) =1raizs^2+1
Logo
LJ0(t) =12pi i;2pi i;1raizs^2+1 =1raizs^2+1

Resposta

LJ0(t)=(s^2+1)^-1/2, s>0

Exercícios de Livros Relacionados