15.10.12 Mostre que a transformada de Laplace do polinômio de Laguerre Ln(a t) é dada por
LLn(a t)=(s-a)^ns^n+1, s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de Ln(a t), onde Ln(x) é o polinômio de Laguerre de ordem n. Vamos usar a definição em série de potências de Ln(x) e a propriedade
Lt^k=integral0^inftye^-stt^k,dt=k!s^k+1, s>0

Passo 2

Lembrando que o polinômio de Laguerre pode ser escrito como
Ln(x)=sumk=0^n(-1)^kbinomnkx^kk!,
temos então
Ln(a t) =sumk=0^n(-1)^kbinomnk(a t)^kk! =sumk=0^n(-1)^kbinomnka^kk!,t^k

Passo 3

Escrevendo a transformada,
LLn(a t) =integral0^inftye^-s tLn(a t),dt =integral0^inftye^-s t sumk=0^n(-1)^kbinomnka^kk!,t^k,dt

Passo 4

Como a soma tem número finito de termos, trocamos soma e integral:
LLn(a t) =sumk=0^n(-1)^kbinomnka^kk! integral0^inftye^-s tt^k,dt

Passo 5

Usando integral0^inftye^-stt^k,dt=k!s^k+1, cada termo vira
a^kk!,k!s^k+1 =a^ks^k+1

Passo 6

Então
LLn(a t) =sumk=0^n(-1)^kbinomnka^ks^k+1 =1ssumk=0^nbinomnkl(-asr)^k

Passo 7

Reconhecemos a soma como expansão binomial:
sumk=0^nbinomnkl(-asr)^k =l(1-asr)^n =l(s-asr)^n

Passo 8

Substituindo de volta,
LLn(a t) =1sl(s-asr)^n =(s-a)^ns^n+1

Resposta

LLn(a t)=(s-a)^ns^n+1, s>0

Exercícios de Livros Relacionados