15.10.12 Mostre que a transformada de Laplace do polinômio de Laguerre
é dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
, onde
é o polinômio de Laguerre de ordem
. Vamos usar a definição em série de potências de
e a propriedade
Passo 2
Lembrando que o polinômio de Laguerre pode ser escrito como
temos então
Passo 3
Escrevendo a transformada,
Passo 4
Como a soma tem número finito de termos, trocamos soma e integral:
Passo 5
Usando
, cada termo vira
Passo 6
Então
Passo 7
Reconhecemos a soma como expansão binomial:
Passo 8
Substituindo de volta,