Resolva a Equação (15.154), que descreve um oscilador harmônico simples atenuado para X(0)= X_{0}, X^{\prime}(0)=0 e
(a) b^{2}=4 \mathrm{~km} (criticamente atenuado),
(b) b^{2}>4 \mathrm{~km} (superatenuado).
Resposta: (a) X(t)=X_{0} e^{-(b / 2 m) t}\left(1+\frac{b}{2 m} t\right).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de um oscilador harmônico atenuado
m\ddot X + b\dot X + kX = 0
com condições iniciais \;X(0)=X_{0} e \;\dot X(0)=0. Este é um problema de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais, distinguindo os casos criticamente atenuado ( b^{2}=4km) e superatenuado ( b^{2}>4km).

Passo 2

Escrevemos a equação característica
m\,r^{2} + b\,r + k = 0
cujas raízes são
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4km}}{2m}.
Definimos \Delta = b^{2}-4km. Se \Delta=0 há raiz dupla; se \Delta>0 há duas raízes reais distintas.

Passo 3

Caso criticamente atenuado ( \Delta=0, isto é b^{2}=4km). A raiz única é
r = -\frac{b}{2m}
e a solução geral fica
X(t) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,t\bigr)e^{-(b/2m)t}.
Impondo X(0)=C_{1}=X_{0} e calculando
\dot X(t)=C_{2}e^{-(b/2m)t} + (C_{1}+C_{2}t)\Bigl(-\frac{b}{2m}\Bigr)e^{-(b/2m)t}
temos \dot X(0)=C_{2}-C_{1}(b/2m)=0, logo
C_{2} = X_{0}\,\frac{b}{2m}.
Substituindo em X(t) resulta
X(t) = X_{0} \,e^{-(b/2m)t}\Bigl(1 + \frac{b}{2m}\,t\Bigr).

Passo 4

Caso superatenuado ( \Delta>0, isto é b^{2}>4km). As raízes são reais e distintas
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4km}}{2m},
e a solução geral é
X(t) = A\,e^{r_{1}t} + B\,e^{r_{2}t}.
Impondo X(0)=A+B=X_{0} e
\dot X(0)=A\,r_{1} + B\,r_{2}=0
resolvemos para A e B:
A = \frac{X_{0}\,r_{2}}{r_{2}-r_{1}}, \quad B = -\frac{X_{0}\,r_{1}}{r_{2}-r_{1}}.
Logo
X(t) = X_{0}\,\frac{r_{2}\,e^{r_{1}t} \;-\; r_{1}\,e^{r_{2}t}}{r_{2}-r_{1}}.

Resposta

(a) X(t)=X_{0}e^{-(b/2m)t}\Bigl(1+\tfrac{b}{2m}t\Bigr).
(b) X(t)=X_{0}\,\dfrac{r_{2}e^{r_{1}t}-r_{1}e^{r_{2}t}}{r_{2}-r_{1}}, onde
\;r_{1,2}=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4km}}{2m}.

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