Resolva a Equação (15.154), que descreve um oscilador harmônico simples atenuado para
e
(a)
(criticamente atenuado),
(b)
(superatenuado).
Resposta: (a)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de um oscilador harmônico atenuado
com condições iniciais
e
. Este é um problema de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais, distinguindo os casos criticamente atenuado (
) e superatenuado (
).
Passo 2
Escrevemos a equação característica
cujas raízes são
Definimos
. Se
há raiz dupla; se
há duas raízes reais distintas.
Passo 3
Caso criticamente atenuado (
, isto é
). A raiz única é
e a solução geral fica
Impondo
e calculando
temos
, logo
Substituindo em
resulta
Passo 4
Caso superatenuado (
, isto é
). As raízes são reais e distintas
e a solução geral é
Impondo
e
resolvemos para
e
:
Logo
Resposta
(a)
.
(b) , onde
(b)