Resolva a Equação (15.154), que descreve um oscilador harmônico simples atenuado para X(0)= X0, X^prime(0)=0 e
(a) b^2=4 km (criticamente atenuado),
(b) b^2>4 km (superatenuado).
Resposta: (a) X(t)=X0 e^-(b / 2 m) t(1+b2 m t).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de um oscilador harmônico atenuado
mddot X + bdot X + kX = 0
com condições iniciais ;X(0)=X0 e ;dot X(0)=0. Este é um problema de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais, distinguindo os casos criticamente atenuado ( b^2=4km) e superatenuado ( b^2>4km).

Passo 2

Escrevemos a equação característica
m,r^2 + b,r + k = 0
cujas raízes são
r1,2 = -b pm raizb^2 - 4km2m
Definimos De<a = b^2-4km. Se De<a=0 há raiz dupla; se De<a>0 há duas raízes reais distintas.

Passo 3

Caso criticamente atenuado ( De<a=0, isto é b^2=4km). A raiz única é
r = -b2m
e a solução geral fica
X(t) = l(C1 + C2,tr)e^-(b/2m)t
Impondo X(0)=C1=X0 e calculando
dot X(t)=C2e^-(b/2m)t + (C1+C2t)l(-b2mr)e^-(b/2m)t
temos dot X(0)=C2-C1(b/2m)=0, logo
C2 = X0,b2m
Substituindo em X(t) resulta
X(t) = X0 ,e^-(b/2m)tl(1 + b2m,tr)

Passo 4

Caso superatenuado ( De<a>0, isto é b^2>4km). As raízes são reais e distintas
r1,2 = -b pm raizb^2-4km2m,
e a solução geral é
X(t) = A,e^r1t + B,e^r2t
Impondo X(0)=A+B=X0 e
dot X(0)=A,r1 + B,r2=0
resolvemos para A e B:
A = X0,r2r2-r1, B = -X0,r1r2-r1
Logo
X(t) = X0,r2,e^r1t ;-; r1,e^r2tr2-r1

Resposta

(a) X(t)=X0e^-(b/2m)tl(1+tfracb2mtr).
(b) X(t)=X0,dfracr2e^r1t-r1e^r2tr2-r1, onde
;r1,2=tfrac-bpmraizb^2-4km2m

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