15.10.13 Mostre que
em que
é a função integral exponencial.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
que é a função integral exponencial. O conteúdo usado será a definição
e a troca de ordem de integração (Teorema de Fubini), válida para
.
Passo 2
Escrevemos a transformada e substituímos a definição de
:
Como
, podemos trocar a ordem de integração:
Passo 3
Calculamos a integral interna em
:
Logo
Passo 4
Para resolver
fazemos frações parciais:
Então
Passo 5
Cada integral é imprópria, mas a diferença converge. Tomando um limite em
:
Como
quando
, obtemos