15.10.6 Desenvolva a transformada de Laplace de J_{n}(t) a partir de \mathcal{L}\left\{J_{0}(t)\right\} usando as relações de recorrência da função de Bessel.
Sugestão: Essa é uma chance de usar indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie de ordem n, isto é
\mathcal{L}\{J_n(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}J_n(t)\,dt,
sabendo-se já que
\mathcal{L}\{J_0(t)\}(s)=\frac{1}{\sqrt{s^2+1}}.
O conteúdo principal envolve as relações de recorrência de J_n(t) e o uso de indução para estender o resultado de n=0 a todo n\ge1.

Passo 2

Base da indução ( n=0).
Dado
\mathcal{L}\{J_0(t)\}(s)=\frac{1}{\sqrt{s^2+1}},
definimos
A_n(s)=\mathcal{L}\{J_n(t)\}(s) \quad\text{e}\quad x=\sqrt{s^2+1}-s.
No caso n=0 temos
A_0(s)=\frac{1}{\sqrt{s^2+1}}=\frac{x^0}{\sqrt{s^2+1}}.

Passo 3

Relação de recorrência adequada.
Usamos
J_{n+1}(t)=J_{n-1}(t)-2\,J_n'(t),
que segue das fórmulas padrão de derivada de J_n. Multiplicando por e^{-st} e integrando de 0 a \infty, com integração por partes no termo de J_n'(t), obtém-se
A_{n+1}(s) = A_{n-1}(s)-2\bigl[s\,A_n(s)-J_n(0)\bigr].
Como J_n(0)=0 para n\ge1, fica
A_{n+1}(s)=A_{n-1}(s)-2s\,A_n(s).

Passo 4

Passo indutivo.
Suponha que, para algum n\ge1, vale
A_{n-1}(s)=\frac{x^{\,n-1}}{\sqrt{s^2+1}} \quad\text{e}\quad A_{n}(s)=\frac{x^n}{\sqrt{s^2+1}}.
Então pela recorrência
A_{n+1}(s) =\frac{x^{\,n-1}}{\sqrt{s^2+1}}-2s\frac{x^n}{\sqrt{s^2+1}} =\frac{x^{\,n-1}}{\sqrt{s^2+1}}\bigl(1-2s\,x\bigr).
Mas como
x=\sqrt{s^2+1}-s \quad\Longrightarrow\quad 1-2s\,x =\bigl(\sqrt{s^2+1}-s\bigr)^2 =x^2,
segue
A_{n+1}(s) =\frac{x^{\,n-1}}{\sqrt{s^2+1}}\,x^2 =\frac{x^{\,n+1}}{\sqrt{s^2+1}}.
Logo a fórmula se mantém para n+1.

Passo 5

Conclusão da indução.
Pela validade para n=0 e pelo passo indutivo, temos para todo inteiro n\ge0:
\mathcal{L}\{J_n(t)\}(s) =A_n(s) =\frac{\bigl(\sqrt{s^2+1}-s\bigr)^{n}}{\sqrt{s^2+1}}.

Resposta

\mathcal{L}\{J_n(t)\}(s) =\frac{\bigl(\sqrt{s^2+1}-s\bigr)^{n}}{\sqrt{s^2+1}}.

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