15.10.6 Desenvolva a transformada de Laplace de Jn(t) a partir de LJ0(t) usando as relações de recorrência da função de Bessel.
Sugestão: Essa é uma chance de usar indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie de ordem n, isto é
LJn(t)(s)=integral0^inftye^-stJn(t),dt,
sabendo-se já que
LJ0(t)(s)=1raizs^2+1
O conteúdo principal envolve as relações de recorrência de Jn(t) e o uso de indução para estender o resultado de n=0 a todo n>=1.

Passo 2

Base da indução ( n=0).
Dado
LJ0(t)(s)=1raizs^2+1,
definimos
An(s)=LJn(t)(s) e x=raizs^2+1-s
No caso n=0 temos
A0(s)=1raizs^2+1=x^0raizs^2+1

Passo 3

Relação de recorrência adequada.
Usamos
Jn+1(t)=Jn-1(t)-2,Jn'(t),
que segue das fórmulas padrão de derivada de Jn. Multiplicando por e^-st e integrando de 0 a infty, com integração por partes no termo de Jn'(t), obtém-se
An+1(s) = An-1(s)-2l[s,An(s)-Jn(0)r]
Como Jn(0)=0 para n>=1, fica
An+1(s)=An-1(s)-2s,An(s)

Passo 4

Passo indutivo.
Suponha que, para algum n>=1, vale
An-1(s)=x^,n-1raizs^2+1 e An(s)=x^nraizs^2+1
Então pela recorrência
An+1(s) =x^,n-1raizs^2+1-2sx^nraizs^2+1 =x^,n-1raizs^2+1l(1-2s,xr)
Mas como
x=raizs^2+1-s Longrightarrow 1-2s,x =l(raizs^2+1-sr)^2 =x^2,
segue
An+1(s) =x^,n-1raizs^2+1,x^2 =x^,n+1raizs^2+1
Logo a fórmula se mantém para n+1.

Passo 5

Conclusão da indução.
Pela validade para n=0 e pelo passo indutivo, temos para todo inteiro n>=0:
LJn(t)(s) =An(s) =l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1

Resposta

LJn(t)(s) =l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1

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