15.10.6 Desenvolva a transformada de Laplace de
a partir de
usando as relações de recorrência da função de Bessel.
Sugestão: Essa é uma chance de usar indução matemática.
Sugestão: Essa é uma chance de usar indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie de ordem
, isto é
,
sabendo-se já que
sabendo-se já que
O conteúdo principal envolve as relações de recorrência de
e o uso de indução para estender o resultado de
a todo
.
Passo 2
Base da indução (
).
Dado
Dado
definimos
No caso
temos
Passo 3
Relação de recorrência adequada.
Usamos
Usamos
que segue das fórmulas padrão de derivada de
. Multiplicando por
e integrando de
a
, com integração por partes no termo de
, obtém-se
Como
para
, fica
Passo 4
Passo indutivo.
Suponha que, para algum , vale
Suponha que, para algum
Então pela recorrência
Mas como
segue
Logo a fórmula se mantém para
.
Passo 5
Conclusão da indução.
Pela validade para e pelo passo indutivo, temos para todo inteiro
:
Pela validade para