15.10.8 O potencial eletrostático de uma carga pontual
Por essa relação, mostre que as transformadas de Fourier de co-seno e seno de são
(a) (\sqrt{\frac{\pi}{2}} F_{c}\left{J_{0}(k \rho)\right}=\int_{0}^{\infty} J_{0}(k \rho) \cos k \zeta d k= ]
(b)
Sugestão: Substitua por e considere o limite quando .

Passo 1

O enunciado nos dá a representação conhecida do potencial eletrostático de uma carga pontual em coordenadas cilíndricas:
integral0^infty e^-k zJ0(krho),dk = 1raizrho^2+z^2, Re(z)>=0
Queremos extrair as transformadas de co-seno e seno de J0(krho)
integral0^inftyJ0(krho)cos(kzeta),dk, integral0^inftyJ0(krho)sin(kzeta),dk
usando a sugestão de substituir z por z+izeta e depois tomar o limite zto0^+.

Passo 2

Substituímos zmapsto z+izeta na integral e separamos partes real e imaginária. De um lado temos
integral0^infty e^-k(z+izeta)J0(krho),dk =integral0^infty e^-kzJ0(krho)l(cos(kzeta)-isin(kzeta)r),dk
Escrevendo
U(z)=integral0^infty e^-kzJ0(krho)cos(kzeta),dk, V(z)=integral0^infty e^-kzJ0(krho)sin(kzeta),dk,
temos
U(z)-i,V(z) =integral0^infty e^-k(z+izeta)J0(krho),dk

Passo 3

Pelo enunciado, a mesma substituição no lado direito dá
integral0^infty e^-k(z+izeta)J0(krho),dk =1raizrho^2+(z+izeta)^2
Logo
U(z)-i,V(z) =l[rho^2+(z+izeta)^2r]^-1/2
Agora tomamos o limite zto0^+. No limite,
U(0)=integral0^inftyJ0(krho)cos(kzeta),dk, V(0)=integral0^inftyJ0(krho)sin(kzeta),dk,
e o lado direito fica
limzto0^+l[rho^2+(z+izeta)^2r]^-1/2 =l[rho^2-zeta^2+i0^+r]^-1/2,
onde usamos o ramo principal de raizcdot.

Passo 4

Agora avaliamos o número complexo l[rho^2-zeta^2+i0^+r]^-1/2 em dois casos:
  1. Se rho>zeta, então rho^2-zeta^2>0. O argumento é positivo real,
    l[rho^2-zeta^2+i0^+r]^-1/2 =(rho^2-zeta^2)^-1/2,
    real puro. Portanto
    U(0)=(rho^2-zeta^2)^-1/2, V(0)=0
  2. Se rho<zeta, então rho^2-zeta^2<0. Escrevendo zeta^2-rho^2=b>0,
    rho^2-zeta^2+i0^+ = -b+i0^+, raiz-b+i0^+=iraizb, l(-b+i0^+r)^-1/2=-,iraizb
    Sendo -,i/raizb=0 - i/raizzeta^2-rho^2, a parte real é zero e a parte imaginária é ;1/raizzeta^2-rho^2. Logo
    U(0)=0, V(0)=(zeta^2-rho^2)^-1/2
Desfazendo notação, chegamos exatamente às fórmulas de transformada:

Resposta

(a) integral0^inftyJ0(krho)cos(kzeta),dk = (rho^2-zeta^2)^-1/2,&rho>zeta, 0,&rho<zeta,
(b) integral0^inftyJ0(krho)sin(kzeta),dk = 0,&rho>zeta, (zeta^2-rho^2)^-1/2,&rho<zeta

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