15.10.8 O potencial eletrostático de uma carga pontual
Por essa relação, mostre que as transformadas de Fourier de co-seno e seno de
são
(a) (\sqrt{\frac{\pi}{2}} F_{c}\left{J_{0}(k \rho)\right}=\int_{0}^{\infty} J_{0}(k \rho) \cos k \zeta d k=
]
(b)
Sugestão: Substitua
por
e considere o limite quando
.
(a) (\sqrt{\frac{\pi}{2}} F_{c}\left{J_{0}(k \rho)\right}=\int_{0}^{\infty} J_{0}(k \rho) \cos k \zeta d k=
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a representação conhecida do potencial eletrostático de uma carga pontual em coordenadas cilíndricas:
Queremos extrair as transformadas de co-seno e seno de
J0(krho)
usando a sugestão de substituir
z por
z+izeta e depois tomar o limite
zto0^+ .
Passo 2
Substituímos
zmapsto z+izeta na integral e separamos partes real e imaginária. De um lado temos
Escrevendo
temos
Passo 3
Pelo enunciado, a mesma substituição no lado direito dá
Logo
Agora tomamos o limite
zto0^+ . No limite,
e o lado direito fica
onde usamos o ramo principal de
raizcdot .
Passo 4
Agora avaliamos o número complexo
l[rho^2-zeta^2+i0^+r]^-1/2 em dois casos:
-
Se
, entãorho>zeta . O argumento é positivo real,rho^2-zeta^2>0 l[rho^2-zeta^2+i0^+r]^-1/2 =(rho^2-zeta^2)^-1/2, real puro. PortantoU(0)=(rho^2-zeta^2)^-1/2, V(0)=0 -
Se
, entãorho<zeta . Escrevendorho^2-zeta^2<0 ,zeta^2-rho^2=b>0 rho^2-zeta^2+i0^+ = -b+i0^+, raiz-b+i0^+=iraizb, l(-b+i0^+r)^-1/2=-,iraizb Sendo , a parte real é zero e a parte imaginária é-,i/raizb=0 - i/raizzeta^2-rho^2 . Logo;1/raizzeta^2-rho^2 U(0)=0, V(0)=(zeta^2-rho^2)^-1/2
Desfazendo notação, chegamos exatamente às fórmulas de transformada:
Resposta
(a)
integral0^inftyJ0(krho)cos(kzeta),dk = (rho^2-zeta^2)^-1/2,&rho>zeta, 0,&rho<zeta,
(b)
integral0^inftyJ0(krho)sin(kzeta),dk = 0,&rho>zeta, (zeta^2-rho^2)^-1/2,&rho<zeta