15.10.7 Um cálculo do campo magnético de um circuito de corrente circular em coordenadas cilíndricas circulares leva à integral
\int_{0}^{\infty} e^{-k z} k J_{1}(k a) d k, \quad \Re(z) \geq 0
Mostre que essa integral é igual a a /\left(z^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para \Re(z)\ge0,
\int_{0}^{\infty} e^{-k z}\,k\,J_{1}(k a)\,dk =\frac{a}{\bigl(z^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}.
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais envolvendo funções de Bessel e a técnica de diferenciar sob o sinal de integral.

Passo 2

Lembramos um resultado clássico (válido para \Re(z)\ge0):
\int_{0}^{\infty} e^{-k z}\,J_{0}(k a)\,dk =\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
Esse é o caso n=0 da transformada de Hankel exponencial.

Passo 3

Repare que
\frac{\partial}{\partial a}J_{0}(k a) =-k\,J_{1}(k a).
Podemos, portanto, escrever
\int_{0}^{\infty} e^{-k z}\,k\,J_{1}(k a)\,dk =-\frac{\partial}{\partial a} \int_{0}^{\infty} e^{-k z}\,J_{0}(k a)\,dk.

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 2 e diferenciando em a, temos
-\frac{\partial}{\partial a} \frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} =-\Bigl(-\frac{a}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\Bigr) =\frac{a}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Logo a integral original é exatamente esse valor.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.

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