15.10.7 Um cálculo do campo magnético de um circuito de corrente circular em coordenadas cilíndricas circulares leva à integral
integral0^infty e^-k z k J1(k a) d k, Re(z) >= 0
Mostre que essa integral é igual a a /(z^2+a^2)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para Re(z)>=0,
integral0^infty e^-k z,k,J1(k a),dk =al(z^2+a^2r)^3/2
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais envolvendo funções de Bessel e a técnica de diferenciar sob o sinal de integral.

Passo 2

Lembramos um resultado clássico (válido para Re(z)>=0):
integral0^infty e^-k z,J0(k a),dk =1raizz^2+a^2
Esse é o caso n=0 da transformada de Hankel exponencial.

Passo 3

Repare que
partialpartial aJ0(k a) =-k,J1(k a)
Podemos, portanto, escrever
integral0^infty e^-k z,k,J1(k a),dk =-partialpartial a integral0^infty e^-k z,J0(k a),dk

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 2 e diferenciando em a, temos
-partialpartial a 1raizz^2+a^2 =-l(-a(z^2+a^2)^3/2r) =a(z^2+a^2)^3/2
Logo a integral original é exatamente esse valor.

Resposta

a(z^2+a^2)^3/2.

Exercícios de Livros Relacionados