3.3.9 Mostre que o traço de uma matriz permanece invariante sob transformações de similaridade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes
e
são semelhantes, isto é, existe uma matriz invertível
tal que
então
. O conteúdo usado será a propriedade cíclica do traço de produto de matrizes.
Passo 2
O fato chave é que, para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem, vale
Essa igualdade decorre diretamente da definição de traço como soma dos elementos da diagonal.
Passo 3
Usando
e a propriedade cíclica para três fatores, temos