3.3.9 Mostre que o traço de uma matriz permanece invariante sob transformações de similaridade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes A e B são semelhantes, isto é, existe uma matriz invertível P tal que
B = P^{-1} A P,
então \mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}(A). O conteúdo usado será a propriedade cíclica do traço de produto de matrizes.

Passo 2

O fato chave é que, para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem, vale
\mathrm{tr}(X Y) \;=\; \mathrm{tr}(Y X).
Essa igualdade decorre diretamente da definição de traço como soma dos elementos da diagonal.

Passo 3

Usando B = P^{-1} A P e a propriedade cíclica para três fatores, temos
\mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}\bigl(P^{-1} A P\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(P\,P^{-1} A\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(I\,A\bigr) = \mathrm{tr}(A).

Resposta

\mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}(A), ou seja, o traço é invariante sob transformações de similaridade.

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