3.3.16 Uma rotação \varphi_{1}+\varphi_{2} ao redor do eixo z é executada como duas rotações sucessivas, cada uma ao redor do eixo z. Use a representação matricial das rotações para derivar as identidades trigonométricas.
\begin{aligned} & \cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\operatorname{sen} \varphi_{1} \operatorname{sen} \varphi_{2} \\ & \operatorname{sen}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\operatorname{sen} \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\cos \varphi_{1} \operatorname{sen} \varphi_{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se fizermos duas rotações sucessivas em torno do eixo z com ângulos \varphi_{1} e \varphi_{2}, o resultado é equivalente a uma única rotação de ângulo \varphi_{1}+\varphi_{2}. O conteúdo que vamos usar é a representação matricial das rotações em \mathbb{R}^3 e a multiplicação de matrizes.

Passo 2

A matriz que representa uma rotação de ângulo \varphi em torno do eixo z é
R_{z}(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Nela, as duas primeiras linhas atuam no plano xy e a terceira linha deixa a coordenada z inalterada.

Passo 3

Para aplicar primeiro \varphi_{1} e depois \varphi_{2}, fazemos o produto
R_{z}(\varphi_{2})\,R_{z}(\varphi_{1}).
Vamos multiplicar as duas matrizes 3\times 3 apenas nos quatro primeiros elementos, pois os demais são triviais (zerados ou iguais a 1). O bloco 2\times2 superior esquerdo fica:
\begin{pmatrix} \cos\varphi_{2} & -\sin\varphi_{2}\\\ \sin\varphi_{2} & \cos\varphi_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi_{1} & -\sin\varphi_{1}\\\ \sin\varphi_{1} & \cos\varphi_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\varphi_{2}\cos\varphi_{1}-\sin\varphi_{2}\sin\varphi_{1} & -(\cos\varphi_{2}\sin\varphi_{1}+\sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1})\\\ \sin\varphi_{2}\cos\varphi_{1}+\cos\varphi_{2}\sin\varphi_{1} & -\sin\varphi_{2}\sin\varphi_{1}+\cos\varphi_{2}\cos\varphi_{1} \end{pmatrix}.

Passo 4

Por outro lado, a única rotação de ângulo \varphi_{1}+\varphi_{2} é dada por
R_{z}(\varphi_{1}+\varphi_{2}) = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_{1}+\varphi_{2}) & -\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2})\\\ \sin(\varphi_{1}+\varphi_{2}) & \cos(\varphi_{1}+\varphi_{2}) \end{pmatrix}.
Como a composição de rotações soma os ângulos, o bloco 2\times2 do produto anterior deve coincidir com este. Comparando entrada a entrada, obtemos
\cos(\varphi_{1}+\varphi_{2}) = \cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2},
\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2}) = \sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\cos\varphi_{1}\sin\varphi_{2}.

Resposta

\cos(\varphi_{1}+\varphi_{2}) = \cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}-\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2},
\sin(\varphi_{1}+\varphi_{2}) = \sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\cos\varphi_{1}\sin\varphi_{2}.

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