3.3.16 Uma rotação \varphi_{1}+\varphi_{2} ao redor do eixo z é executada como duas rotações sucessivas, cada uma ao redor do eixo z. Use a representação matricial das rotações para derivar as identidades trigonométricas. \begin{aligned}
& \cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}-\operatorname{sen} \varphi_{1} \operatorname{sen} \varphi_{2} \\
& \operatorname{sen}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\operatorname{sen} \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\cos \varphi_{1} \operatorname{sen} \varphi_{2}
\end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se fizermos duas rotações sucessivas em torno do eixo z com ângulos \varphi_{1} e \varphi_{2}, o resultado é equivalente a uma única rotação de ângulo \varphi_{1}+\varphi_{2}. O conteúdo que vamos usar é a representação matricial das rotações em \mathbb{R}^3 e a multiplicação de matrizes.
Passo 2
A matriz que representa uma rotação de ângulo \varphi em torno do eixo z é
Nela, as duas primeiras linhas atuam no plano xy e a terceira linha deixa a coordenada z inalterada.
Passo 3
Para aplicar primeiro \varphi_{1} e depois \varphi_{2}, fazemos o produto
R_{z}(\varphi_{2})\,R_{z}(\varphi_{1}).
Vamos multiplicar as duas matrizes 3\times 3 apenas nos quatro primeiros elementos, pois os demais são triviais (zerados ou iguais a 1). O bloco 2\times2 superior esquerdo fica: