3.3.6 Verifique que a matriz de rotação do ângulo de Euler, Equação (3.94), é invariante sob a transformação
\alpha \rightarrow \alpha+\pi, \quad \beta \rightarrow-\beta, \quad \gamma \rightarrow \gamma-\pi.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre
R(\alpha+\pi,\,-\beta,\,\gamma-\pi)\;=\;R(\alpha,\beta,\gamma)\,,
onde R(\alpha,\beta,\gamma) é a matriz de rotação de Euler dada pela Equação (3.94). O conteúdo que vamos usar é a composição de rotações elementares em torno dos eixos z e x, e propriedades de conjugação de rotações.

Passo 2

Relembremos que, no convênio usado em (3.94),
R(\alpha,\beta,\gamma)=R_{z}(\alpha)\;R_{x}(\beta)\;R_{z}(\gamma)\,,
onde
R_{z}(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad R_{x}(\varphi)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\\\ 0 & \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevemos a rotação com os ângulos transformados:
R' \;=\; R(\alpha+\pi,\,-\beta,\,\gamma-\pi) \;=\; R_{z}(\alpha+\pi)\;R_{x}(-\beta)\;R_{z}(\gamma-\pi).

Passo 4

Usamos as identidades
R_{z}(\alpha+\pi)=R_{z}(\alpha)\,R_{z}(\pi), \quad R_{z}(\gamma-\pi)=R_{z}(\gamma)\,R_{z}(-\pi)
e como R_{z}(-\pi)=R_{z}(\pi) (rotação de \pi é igual à de -\pi módulo 2\pi), além de
R_{x}(-\beta)=\bigl(R_{x}(\beta)\bigr)^{-1}.
Substituindo em R' e agrupando,
R' = R_{z}(\alpha)\,R_{z}(\pi)\;\bigl(R_{x}(\beta)\bigr)^{-1}\;R_{z}(\pi)\,R_{z}(\gamma).
Agora vale a propriedade de conjugação:
“conjugar” R_{x}(\beta) por R_{z}(\pi) inverte o eixo de rotação, o que efetivamente troca o sinal do ângulo. Mais precisamente,
R_{z}(\pi)\,R_{x}(-\beta)\,R_{z}(\pi) \;=\;R_{x}(\beta).
Portanto
R_{z}(\pi)\,\bigl(R_{x}(\beta)\bigr)^{-1}\,R_{z}(\pi) \;=\;R_{x}(\beta).

Passo 5

Substituindo esse resultado em R', obtemos
R' =R_{z}(\alpha)\;R_{x}(\beta)\;R_{z}(\gamma) =R(\alpha,\beta,\gamma).
Isso mostra que a matriz é invariante sob
\alpha\to\alpha+\pi,\;\beta\to-\beta,\;\gamma\to\gamma-\pi.

Resposta

A matriz de rotação satisfaz
R(\alpha+\pi,\,-\beta,\,\gamma-\pi) =R(\alpha,\beta,\gamma),
ou seja, é invariante sob a transformação dada.

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