Prove que:
Um número perfeito nunca é o produto de dois números primos ímpares.
Um número perfeito nunca é o produto de dois números primos ímpares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe número perfeito que seja da forma
com
e
primos ímpares. Lembrando que um inteiro positivo
é perfeito se a soma de todos os seus divisores (incluindo-o) satisfaz
onde
é a função soma dos divisores de
.
Passo 2
Se
com
e
primos distintos, então seus divisores são
e portanto
Passo 3
Como
é perfeito, deve valer
Substituindo a expressão de
obtemos
Passo 4
Expandindo e rearranjando,
Os únicos inteiros positivos que satisfazem
são
isto é,
ou
. Em ambos os casos um dos primos é
, não havendo solução com
e
ambos ímpares.
Resposta
Não existe número perfeito que seja o produto de dois primos ímpares.