Prove que:
Um número perfeito nunca é o produto de dois números primos ímpares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe número perfeito que seja da forma N=pq com p e q primos ímpares. Lembrando que um inteiro positivo N é perfeito se a soma de todos os seus divisores (incluindo-o) satisfaz
sigma(N)=2N,
onde sigma(N) é a função soma dos divisores de N.

Passo 2

Se N=pq com p e q primos distintos, então seus divisores são
1,;p,;q,;pq
e portanto
sigma(pq)=1+p+q+pq=(p+1)(q+1)

Passo 3

Como N é perfeito, deve valer
sigma(pq)=2(pq)
Substituindo a expressão de sigma(pq) obtemos
(p+1)(q+1)=2pq

Passo 4

Expandindo e rearranjando,
pq + p + q +1 = 2pq Longrightarrow p+q+1 = pq Longrightarrow pq - p - q = 1 Longrightarrow (p-1)(q-1)=2
Os únicos inteiros positivos que satisfazem (p-1)(q-1)=2 são
(p-1,q-1)=(1,2)ou(2,1),
isto é, (p,q)=(2,3) ou (3,2). Em ambos os casos um dos primos é 2, não havendo solução com p e q ambos ímpares.

Resposta

Não existe número perfeito que seja o produto de dois primos ímpares.

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