Mostre que 15 não admite raízes primitivas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum gerador cíclico do grupo multiplicativo
, ou seja, que não há elemento de ordem
. O conteúdo que vamos usar envolve a função totiente de Euler
, o Teorema Chinês dos Resíduos para descrever
e o fato de que um produto direto de grupos cíclicos é cíclico só se as ordens forem coprimas.
Passo 2
Primeiro, calculemos
. Como
com
e
primos distintos, temos
Logo, se existisse raiz primitiva
, deveríamos ter
.
Passo 3
Pelo Teorema Chinês dos Resíduos,
Sabemos que
é cíclico de ordem
e
é cíclico de ordem
. Assim
onde
denota o grupo cíclico de ordem
.
Passo 4
Um produto direto
é cíclico se, e somente se,
. Aqui temos
, então
não é cíclico. Isso significa que não existe elemento em
de ordem igual a
.
Resposta
15 não admite raízes primitivas.