Mostre que 15 não admite raízes primitivas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum gerador cíclico do grupo multiplicativo (Z/15Z)^*, ou seja, que não há elemento de ordem varphi(15). O conteúdo que vamos usar envolve a função totiente de Euler varphi, o Teorema Chinês dos Resíduos para descrever (Z/15Z)^* e o fato de que um produto direto de grupos cíclicos é cíclico só se as ordens forem coprimas.

Passo 2

Primeiro, calculemos varphi(15). Como 15 = 3 cdot 5 com 3 e 5 primos distintos, temos
varphi(15) ;=;varphi(3),varphi(5);=;(3-1)(5-1);=;2cdot4;=;8
Logo, se existisse raiz primitiva g, deveríamos ter ord15(g)=8.

Passo 3

Pelo Teorema Chinês dos Resíduos,
(Z/15Z)^* ;cong;(Z/3Z)^*;times;(Z/5Z)^*
Sabemos que (Z/3Z)^* é cíclico de ordem varphi(3)=2 e (Z/5Z)^* é cíclico de ordem varphi(5)=4. Assim
(Z/15Z)^* ;cong; C2 times C4,
onde Cn denota o grupo cíclico de ordem n.

Passo 4

Um produto direto Cmtimes Cn é cíclico se, e somente se, gcd(m,n)=1. Aqui temos gcd(2,4)=2neq1, então C2times C4 não é cíclico. Isso significa que não existe elemento em (Z/15Z)^* de ordem igual a lvert(Z/15Z)^*rvert=varphi(15)=8.

Resposta

15 não admite raízes primitivas.

Exercícios de Livros Relacionados