Para todo inteiro n>3, prove que n^4+4 é um número composto.
Sugestäo: Acrescente 4 n^2-4 n^2 à expressão e procure fatorar o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>3, o número
n^4+4
é composto. Vamos usar a sugestão de adicionar e subtrair 4n^2 de modo a criar uma diferença de quadrados, o que nos permitirá fatorar a expressão.

Passo 2

Começamos escrevendo
n^4+4 = n^4 + 4n^2 + 4 ;-; 4n^2
Observe que n^4+4n^2+4 é precisamente (n^2+2)^2. Logo,
n^4+4 = (n^2+2)^2 - (2n)^2

Passo 3

Aplicando a fatoração da diferença de quadrados, ,A^2-B^2=(A+B)(A-B), com A=n^2+2 e B=2n, obtemos
n^4+4 = l((n^2+2)+(2n)r),l((n^2+2)-(2n)r)
Isso é
n^4+4 = (n^2+2n+2),(n^2-2n+2)

Passo 4

Para concluir que n^4+4 é composto, basta verificar que ambos os fatores são maiores que 1 sempre que n>3:
n^2-2n+2 = (n-1)^2 + 1 >= (4-1)^2 + 1 = 10 > 1,
e
n^2+2n+2 = n^2 + 2n + 1 + 1 = (n+1)^2 + 1 >= (4+1)^2 + 1 = 26 > 1
Como os dois fatores são inteiros maiores que 1, a expressão original é produto de dois números inteiros não triviais, logo é composta.

Resposta

A fatoração
n^4+4 = (n^2+2n+2),(n^2-2n+2)
mostra que, para todo inteiro n>3, n^4+4 é composto.

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