Prove que
, para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que todo divisor comum de dois números também divide qualquer combinação linear inteira desses números.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que todo divisor comum de dois números também divide qualquer combinação linear inteira desses números.
Passo 2
Seja
.
Por definição de máximo divisor comum, temos
Por definição de máximo divisor comum, temos
-
divide , isto é, existe tal que . -
divide , isto é, existe tal que .
Passo 3
Como
divide tanto
quanto
, ele divide qualquer combinação linear inteira de
e
. Em particular:
-
divide (caso ). -
divide (caso ).
Passo 4
Logo,
é um divisor comum de
e
. Mas a definição de máximo divisor comum nos diz que
é o maior inteiro que divide simultaneamente
e
.
Como é um desses divisores, segue
Como
Resposta
Portanto
como queríamos provar.