Mostre que n! pode ser representado como a soma de n de seus divisores positivos distintos, sempre que n \geq 3. [Dica: Use a carga indutiva. Primeiro tente demonstrar este resultado usando a indução matemática. Examinando onde sua demonstração falhou, encontre uma proposição forte que você pode demonstrar facilmente usando a indução matemática.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge3, existe uma coleção de n divisores positivos distintos de n! cuja soma é exatamente n!. O conteúdo é um argumento por indução forte, mas com uma pequena “força extra”: exigimos que um desses divisores seja 1.

Passo 2

Base da indução n=3. Como 3! = 6 e os divisores positivos de 6 são \{1,2,3,6\}, basta escolher \{1,2,3\}. Então
1+2+3 = 6 = 3!,
e o conjunto tem 3 elementos, inclui 1 e todos dividem 3!. Logo a proposição vale para n=3.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para certo n\ge3 já temos um conjunto de n divisores distintos
\{\,d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\}
de n! tais que
d_{1}+d_{2}+\cdots+d_{n} = n! \quad\text{e}\quad d_{1}=1.

Passo 4

Passo indutivo n\to n+1. Vamos construir n+1 divisores de (n+1)! somando exatamente (n+1)!. Definimos:
d'_{1} = 1, \quad d'_{i} = (n+1)\,d_{i} \quad(\text{para }i=2,3,\dots,n), \quad d'_{n+1} = n.
– Cada d'_{i} é divisor de (n+1)! = (n+1)\,n!, pois:
  1. d'_{1}=1 claramente divide tudo.
  2. Se d_{i}\mid n! então (n+1)\,d_{i}\mid (n+1)\,n! = (n+1)!.
  3. n\mid (n+1)! pois n\mid n!.
    – Os n+1 valores 1,\,(n+1)d_{2},\dots,(n+1)d_{n},\,n são distintos:
    1\neq n para n\ge3.
    • Para i\ge2, (n+1)d_{i}\ge2\,(n+1)>n, então (n+1)d_{i}\neq n e (n+1)d_{i}\neq1.
    • Se d_{i}\neq d_{j} então (n+1)d_{i}\neq (n+1)d_{j}.
    – Soma:
\sum_{i=1}^{n+1} d'_{i} = 1 + \sum_{i=2}^{n}(n+1)\,d_{i} + n = 1 + (n+1)\bigl(n! - d_{1}\bigr) + n = 1 + (n+1)\bigl(n! - 1\bigr) + n.
Mas (n+1)(n! - 1) = (n+1)n! - (n+1), então
\sum_{i=1}^{n+1} d'_{i} = 1 + \bigl((n+1)n! - (n+1)\bigr) + n = (n+1)n! - (n+1) + (n+1) = (n+1)n! = (n+1)!.
Isso mostra que a propriedade vale para n+1.

Resposta

Portanto, por indução, para todo n\ge3 existe um conjunto de n divisores positivos distintos de n! cuja soma é n!.

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