Mostre que
pode ser representado como a soma de
de seus divisores positivos distintos, sempre que
. [Dica: Use a carga indutiva. Primeiro tente demonstrar este resultado usando a indução matemática. Examinando onde sua demonstração falhou, encontre uma proposição forte que você pode demonstrar facilmente usando a indução matemática.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, existe uma coleção de
divisores positivos distintos de
cuja soma é exatamente
. O conteúdo é um argumento por indução forte, mas com uma pequena “força extra”: exigimos que um desses divisores seja
.
Passo 2
Base da indução
. Como
e os divisores positivos de
são
, basta escolher
. Então
e o conjunto tem 3 elementos, inclui 1 e todos dividem
. Logo a proposição vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para certo
já temos um conjunto de
divisores distintos
de
tais que
Passo 4
Passo indutivo
. Vamos construir
divisores de
somando exatamente
. Definimos:
– Cada
é divisor de
, pois:
-
claramente divide tudo. - Se
então . -
pois .
– Osvalores são distintos:
•para .
• Para, , então e .
• Seentão .
– Soma:
Mas
, então
Isso mostra que a propriedade vale para
.
Resposta
Portanto, por indução, para todo
existe um conjunto de
divisores positivos distintos de
cuja soma é
.