(Requer cálculo) Suponha que a seqüência
é definida recursivamente por
.
a) Use a indução matemática para mostrar que
, ou seja, a seqüência
é monotonicamente crescente.
b) Use a indução matemática para demonstrar que
para
.
c) Mostre que
.
a) Use a indução matemática para mostrar que
b) Use a indução matemática para demonstrar que
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O que nos pedem é: (a) mostrar por indução que
é crescente; (b) mostrar por indução que
para todo
; (c) usar esses resultados para concluir que
. Os conteúdos usados serão indução matemática, monotonicidade, cotas e convergência de sequência monótona limitada.
Passo 2
Prova por indução de que
.
Base :
Base
Passo indutivo: suponha
. Como a função
é crescente em
, temos
Logo, por indução, a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base :
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Assim, por indução,
para todo
.
Passo 4
Convergência e cálculo do limite.
Como é crescente e fica sempre abaixo de
, ela é limitada e, portanto, converge a algum
. Tomando limite na definição recursiva, obtemos
Elevando ao quadrado:
Como
Elevando ao quadrado:
As raízes são
ou
, mas a sequência é não negativa, logo descartamos
. Portanto
.