(Requer cálculo) Suponha que a seqüência x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots é definida recursivamente por x_{1}=0 \mathrm{e} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+6}.
a) Use a indução matemática para mostrar que x_{1}<x_{2}< \cdots<x_{n}<\cdots, ou seja, a seqüência \left\{x_{n}\right\} é monotonicamente crescente.
b) Use a indução matemática para demonstrar que x_{n}<3 para n=1,2, \ldots.
c) Mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=3.

Passo 1

O enunciado define a sequência x_{1},x_{2},\dots por
x_{1}=0,\qquad x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+6}.
O que nos pedem é: (a) mostrar por indução que \{x_{n}\} é crescente; (b) mostrar por indução que x_{n}<3 para todo n; (c) usar esses resultados para concluir que \lim_{n\to\infty}x_{n}=3. Os conteúdos usados serão indução matemática, monotonicidade, cotas e convergência de sequência monótona limitada.

Passo 2

Prova por indução de que x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}<\cdots.
Base n=1:
x_{2}=\sqrt{x_{1}+6}=\sqrt{0+6}=\sqrt{6}>0=x_{1}.
Passo indutivo: suponha x_{k}>x_{k-1}. Como a função f(t)=\sqrt{t+6} é crescente em [0,\infty), temos
x_{k+1}=f(x_{k})>f(x_{k-1})=x_{k}.
Logo, por indução, a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Prova por indução de que x_{n}<3 para todo n.
Base n=1: x_{1}=0<3.
Passo indutivo: suponha x_{k}<3. Então
x_{k+1}=\sqrt{x_{k}+6}<\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3.
Assim, por indução, x_{n}<3 para todo n.

Passo 4

Convergência e cálculo do limite.
Como \{x_{n}\} é crescente e fica sempre abaixo de 3, ela é limitada e, portanto, converge a algum L\le3. Tomando limite na definição recursiva, obtemos L=\sqrt{L+6}.
Elevando ao quadrado:
L^{2}=L+6 \quad\Longrightarrow\quad L^{2}-L-6=0 \quad\Longrightarrow\quad (L-3)(L+2)=0.
As raízes são L=3 ou L=-2, mas a sequência é não negativa, logo descartamos L=-2. Portanto L=3.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=3.

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