Mostre que se n for um número inteiro positivo \operatorname{com} n \geq 2, então
\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j^{2}-1}=\frac{(n-1)(3 n+2)}{4 n(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que para todo inteiro n\ge 2 vale
\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j^{2}-1}=\frac{(n-1)(3n+2)}{4n(n+1)}.
Para isso, vamos usar frações parciais e somas telescópicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que
\frac{1}{j^{2}-1}=\frac{1}{(j-1)(j+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j+1}\Bigr).
Essa decomposição é essencial para telescopar a soma.

Passo 3

Substituindo essa expressão na soma, temos
\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j^{2}-1} =\frac12\sum_{j=2}^{n}\Bigl(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j+1}\Bigr).

Passo 4

Agora dividimos em duas somas e ajustamos os índices:
\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j-1} =\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}, \quad \sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j+1} =\sum_{m=3}^{n+1}\frac{1}{m}.
Portanto,
\sum_{j=2}^{n}\Bigl(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j+1}\Bigr) =\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} -\sum_{m=3}^{n+1}\frac{1}{m}.

Passo 5

A maioria dos termos cancela, restando apenas
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} -\sum_{m=3}^{n+1}\frac{1}{m} =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.

Passo 6

Logo,
\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j^{2}-1} =\tfrac12\Bigl(1+\tfrac12-\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\Bigr) =\tfrac12\Bigl(\tfrac32-\frac{2n+1}{n(n+1)}\Bigr).
Fazendo a combinação em único quociente obtemos
\frac{(n-1)(3n+2)}{4n(n+1)}.

Resposta

\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j^{2}-1} =\frac{(n-1)(3n+2)}{4n(n+1)}.

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