Use a induçãomatemática para demonstrar que
para todo número inteiro positivo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução matemática que, para todo inteiro positivo
, vale a fórmula
O conteúdo envolve somatórios e o princípio de indução: primeiro mostramos o caso base
e depois o passo indutivo
.
Passo 2
(Caso base
)
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito, substituindo
, dá
Como ambos são iguais a
, o caso base está verificado.
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que para algum já valha
Suponha que para algum
Passo 4
(Passo indutivo
)
Começamos escrevendo
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução, o somatório até
é
logo
Agrupando termos em
,
Por outro lado, o lado direito da fórmula para
é
que se reduz a
Logo coincide com o resultado acima, fechando o passo indutivo.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução matemática, a identidade
vale para todo inteiro positivo
.