Use a induçãomatemática para demonstrar que \sum_{j=1}^{n} j^{2} 2^{j}= n^{2} 2^{n+1}-n 2^{n+2}+3 \cdot 2^{n+1}-6 para todo número inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática que, para todo inteiro positivo n, vale a fórmula
\sum_{j=1}^{n} j^{2}2^{j} = n^{2}2^{n+1}-n2^{n+2}+3\cdot2^{n+1}-6.
O conteúdo envolve somatórios e o princípio de indução: primeiro mostramos o caso base n=1 e depois o passo indutivo k\to k+1.

Passo 2

(Caso base n=1)
O lado esquerdo é
\sum_{j=1}^{1} j^{2}2^{j} = 1^{2}\cdot2^{1} = 2.
O lado direito, substituindo n=1, dá
1^{2}2^{2} - 1\cdot2^{3} + 3\cdot2^{2} - 6 = 4 - 8 + 12 - 6 = 2.
Como ambos são iguais a 2, o caso base está verificado.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que para algum k\ge1 já valha
\sum_{j=1}^{k} j^{2}2^{j} = k^{2}2^{k+1} - k2^{k+2} + 3\cdot2^{k+1} - 6.

Passo 4

(Passo indutivo k\to k+1)
Começamos escrevendo
\sum_{j=1}^{k+1} j^{2}2^{j} = \sum_{j=1}^{k} j^{2}2^{j} \;+\;(k+1)^{2}2^{\,k+1}.
Pela hipótese de indução, o somatório até k é
k^{2}2^{k+1} - k2^{k+2} + 3\cdot2^{k+1} - 6,
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\sum_{j=1}^{k+1} j^{2}2^{j} = \bigl(k^{2}2^{k+1} - k2^{k+2} + 3\cdot2^{k+1} - 6\bigr) + (k+1)^{2}2^{k+1}.
Agrupando termos em 2^{k+1},
= \bigl(k^{2} + (k+1)^{2} + 3 - 2k\bigr)2^{k+1} - 6 = 2^{k+1}\bigl(2k^{2}+4\bigr) - 6 = (k^{2}+2)2^{k+2} - 6.
Por outro lado, o lado direito da fórmula para n=k+1 é
(k+1)^{2}2^{k+2} - (k+1)2^{k+3} + 3\cdot2^{k+2} - 6,
que se reduz a
2^{k+2}\bigl((k+1)^{2}+3-2(k+1)\bigr)-6 = (k^{2}+2)2^{k+2}-6.
Logo coincide com o resultado acima, fechando o passo indutivo.

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução matemática, a identidade
\sum_{j=1}^{n} j^{2}2^{j} = n^{2}2^{n+1}-n2^{n+2}+3\cdot2^{n+1}-6
vale para todo inteiro positivo n.

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