Mostre que 2 é raiz primitiva de 19 , mas não é de 17.

Passo 1

O problema pede para mostrar que 2 é raiz primitiva de 19 e que não é raiz primitiva de 17.
Uma raiz primitiva de um primo p é um elemento g cujo grupo multiplicativo (Z/p)^times tem ordem varphi(p)=p-1.
Um critério eficiente é: sejam q1,dots,qk os fatores primos de varphi(p). Então g é raiz primitiva mod p se, e somente se, para todo i
g^varphi(p)/qinotequiv1pmod p

Passo 2

Para p=19 temos varphi(19)=18 e os fatores primos de 18 são 2 e 3. Verificamos
2^18/2=2^9=512equiv512-26cdot19=18notequiv1pmod19,
2^18/3=2^6=64equiv64-3cdot19=7notequiv1pmod19
Como nenhuma dessas potências dá 1, a ordem de 2 mod 19 é 18, ou seja, 2 gera todo (Z/19)^times. Logo 2 é raiz primitiva de 19.

Passo 3

Para p=17 temos varphi(17)=16 e o único fator primo de 16 é 2. Calculamos
2^16/2=2^8=256equiv256-15cdot17=1pmod17
Aqui já obtemos 1 para uma potência própria, então a ordem de 2 em (Z/17)^times divide 8 e não alcança 16. Assim 2 não gera todo o grupo e não é raiz primitiva de 17.

Resposta

2 é raiz primitiva de 19, mas não é raiz primitiva de 17.

Exercícios de Livros Relacionados