Mostre que 2 é raiz primitiva de 19 , mas não é de 17.
Passo 1
O problema pede para mostrar que 2 é raiz primitiva de 19 e que não é raiz primitiva de 17.
Uma raiz primitiva de um primo é um elemento
cujo grupo multiplicativo
tem ordem
.
Um critério eficiente é: sejam os fatores primos de
. Então
é raiz primitiva mod
se, e somente se, para todo
Uma raiz primitiva de um primo
Um critério eficiente é: sejam
Passo 2
Para
temos
e os fatores primos de 18 são 2 e 3. Verificamos
Como nenhuma dessas potências dá 1, a ordem de 2 mod 19 é 18, ou seja, 2 gera todo
. Logo 2 é raiz primitiva de 19.
Passo 3
Para
temos
e o único fator primo de 16 é 2. Calculamos
Aqui já obtemos 1 para uma potência própria, então a ordem de 2 em
divide 8 e não alcança 16. Assim 2 não gera todo o grupo e não é raiz primitiva de 17.
Resposta
2 é raiz primitiva de 19, mas não é raiz primitiva de 17.