Ache os restos nas seguintes divisões:
3^10 cdot 42^5+6^6 por 5

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
3^10cdot 42^5 + 6^6
por 5. Vamos usar aritmética modular, em particular a ideia de que para qualquer inteiro a coprimo com 5 vale
a^varphi(5)equiv1pmod5,
onde varphi(5)=4.

Passo 2

Para calcular 3^10cdot 42^5bmod5, notamos que
varphi(5)=4, logo
3^10 = 3^4cdot2 + 2 = (3^4)^2cdot3^2 equiv 1^2cdot9 equiv 4pmod5
Além disso, 42equiv2pmod5, então
42^5equiv 2^5 = 32 equiv 2pmod5
Logo
3^10cdot42^5equiv 4cdot2 = 8 equiv 3pmod5

Passo 3

Calculamos 6^6bmod5. Como 6equiv1pmod5, temos
6^6equiv1^6=1pmod5

Passo 4

Somando os dois resultados em módulo 5,
3^10cdot42^5 + 6^6 equiv 3 + 1 = 4 pmod5

Resposta

O resto da divisão é 4.

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