Sejam a, b in Z. Prove que: mdc(a, b)=1 Long<=ftrightarrow mdc(a+b, b)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
gcd(a,b)=1
se e somente se
gcd(a+b,b)=1.
O conteúdo é teoria dos números, mais precisamente propriedades de divisibilidade e de máximo divisor comum. A ideia é provar que o conjunto de divisores comuns de (a,b) coincide com o de (a+b,b), o que implica
gcd(a,b)=gcd(a+b,b),
e daí a equivalência desejada.

Passo 2

Seja d um divisor comum de a e b. Então
dmid a e dmid b.
Daí segue
dmid(a+b),
logo d também divide simultaneamente a+b e b. Em outras palavras, todo divisor comum de a e b é divisor comum de a+b e b.

Passo 3

Seja e um divisor comum de a+b e b. Então
emid(a+b) e emid b.
Subtraindo, obtemos
emidl((a+b)-br);Longrightarrow;emid a
Portanto e divide simultaneamente a e b. Em outras palavras, todo divisor comum de a+b e b é divisor comum de a e b.

Passo 4

Dos passos anteriores, o conjunto de divisores comuns de (a,b) coincide exatamente com o conjunto de divisores comuns de (a+b,b). Logo
gcd(a,b)=gcd(a+b,b)
Em particular,
gcd(a,b)=1Long<=ftrightarrowgcd(a+b,b)=1

Resposta

gcd(a,b)=1iffgcd(a+b,b)=1.

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