Sejam
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
se e somente se
.
O conteúdo é teoria dos números, mais precisamente propriedades de divisibilidade e de máximo divisor comum. A ideia é provar que o conjunto de divisores comuns de coincide com o de
, o que implica
se e somente se
O conteúdo é teoria dos números, mais precisamente propriedades de divisibilidade e de máximo divisor comum. A ideia é provar que o conjunto de divisores comuns de
e daí a equivalência desejada.
Passo 2
Seja
um divisor comum de
e
. Então
e
.
Daí segue
Daí segue
logo
também divide simultaneamente
e
. Em outras palavras, todo divisor comum de
e
é divisor comum de
e
.
Passo 3
Seja
um divisor comum de
e
. Então
e
.
Subtraindo, obtemos
Subtraindo, obtemos
Portanto
divide simultaneamente
e
. Em outras palavras, todo divisor comum de
e
é divisor comum de
e
.
Passo 4
Dos passos anteriores, o conjunto de divisores comuns de
coincide exatamente com o conjunto de divisores comuns de
. Logo
Em particular,