Mostre que o resto na divisão euclidiana de s(n)=1!+2!+3!+ldots+ +n! por 12 é 9 , para todo n >= 4.
Sugestão: Se n >= 4, então n!equiv 0(bmod 12).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n>=4, o número
s(n)=1!+2!+3!+cdots+n!
tem resto igual a 9 na divisão por 12. O conteúdo usado será divisibilidade e congruências modulares, além de propriedades de fatorial.

Passo 2

Primeiro mostramos que, para qualquer k>=4, vale
k!equiv0pmod12
De fato, para k>=4 temos
k! = 1cdot2cdot3cdot4cdotl(5cdots kr),
onde o fator 4 garante divisibilidade por 4 e o fator 3 garante divisibilidade por 3. Então k! é múltiplo de 3 e de 4, logo é múltiplo de 12.

Passo 3

Usando essa propriedade, ao somar de 1! até n! com n>=4 temos
s(n)=1!+2!+3!+sumk=4^nk! equiv 1!+2!+3!+0pmod12
Como 1!=1, 2!=2 e 3!=6, concluímos
s(n)equiv 1+2+6=9pmod12

Resposta

O resto da divisão de s(n) por 12 é 9 para todo n>=4.

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