Mostre que o resto na divisão euclidiana de
por 12 é 9 , para todo
.
Sugestão: Se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o número
tem resto igual a
na divisão por
. O conteúdo usado será divisibilidade e congruências modulares, além de propriedades de fatorial.
Passo 2
Primeiro mostramos que, para qualquer
, vale
De fato, para
temos
onde o fator
garante divisibilidade por
e o fator
garante divisibilidade por
. Então
é múltiplo de
e de
, logo é múltiplo de
.
Passo 3
Usando essa propriedade, ao somar de
até
com
temos
Como
,
e
, concluímos
Resposta
O resto da divisão de
por
é
para todo
.