Sejam a e b inteiros tais que mdc(a, b)=p, onde p é primo. Prove que mdc(a^2, b)=p ou p^2.
Resolução: Seja mdc( a^2, b ) =d e indiquemos por q um divisor primo de d. (Note-se que como p mid a^2 e p mid b, então d>1.) Como q mid a^2 e q mid b, então q mid a e q mid b; daí q mid p e portanto q=p. Assim d=p(r >= 1). Vamos supor que r>2. Então, de um lado, p^2 mid b. De outro, p^r mid a^2, o que leva a a^2=p^r q(q in Z); mas p mid a e então a=p s(s in Z); assim p^2 s^2=p^r q, de onde segue (cancelando p^2 ) que p mid s e portanto (já que a=ps ) p^2 mid a. Como porém mdc(a, b)=p, as conclusōes a que chegamos ( p^2 mid a e p^2 mid b ) constituem um absurdo. Logo r <= 2.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros tais que gcd(a,b)=p, com p primo, e pede para mostrar que gcd(a^2,b) só pode ser p ou p^2. Vamos usar a definição de máximo divisor comum e o fato de que, se um primo divide um produto, ele divide um dos fatores.

Passo 2

Defina d = gcd(a^2,b). Seja q qualquer primo que divide d. Como qmid d, temos simultaneamente qmid a^2 e qmid b.
Pelo teorema fundamental da aritmética, qmid a^2 implica qmid a. Então q divide tanto a quanto b, logo
q ;m|; gcd(a,b) ;=; p
Como p é primo, segue que q=p. Concluímos que o único primo que pode dividir d é p.

Passo 3

Do passo anterior vem que todas as potências de d são de p. Logo
d ;=; p^r
para algum inteiro r>=1. Note que de fato r>=1 pois sabemos que pmid a e pmid b, então pmid a^2 e pmid b.

Passo 4

Basta ver que r não pode passar de 2. Suponha, por absurdo, que r>=3. Então
p^r mid a^2 e p^r mid b
Da primeira divisibilidade escrevemos a^2 = p^r k para algum inteiro k. Como pmid a, escreva a = p,s. Substituindo:
(p,s)^2 = p^r k Longrightarrow p^2 s^2 = p^r k
Como pneq0, podemos cancelar p^2 e obter
s^2 = p^,r-2 k
Como r-2>=1, o lado direito tem um fator p, então pmid s. Assim a = p,s fica com p^2mid a.
Paralelamente, de p^rmid b (com r>=3) vem p^2mid b. Mas isso implica
gcd(a,b);>=;p^2,
o que contraria gcd(a,b)=p. Logo não pode ocorrer r>=3, isto é, r<=2.

Resposta

gcd(a^2,b)=p ou gcd(a^2,b)=p^2.

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