Sejam a e b inteiros tais que , onde é primo. Prove que ou .
Resolução: Seja mdc( ) e indiquemos por um divisor primo de d. (Note-se que como p e p , então .) Como e , então e ; daí e portanto . Assim . Vamos supor que . Então, de um lado, . De outro, , o que leva a ; mas a e então ; assim , de onde segue (cancelando ) que e portanto (já que ) . Como porém , as conclusōes a que chegamos ( e ) constituem um absurdo. Logo .
Passo 1
O enunciado diz que e são inteiros tais que , com primo, e pede para mostrar que só pode ser ou . Vamos usar a definição de máximo divisor comum e o fato de que, se um primo divide um produto, ele divide um dos fatores.
Passo 2
Defina . Seja qualquer primo que divide . Como , temos simultaneamente e .
Pelo teorema fundamental da aritmética, implica . Então divide tanto quanto , logo
Como p é primo, segue que q=p. Concluímos que o único primo que pode dividir d é p.
Passo 3
Do passo anterior vem que todas as potências de d são de p. Logo
d ;=; p^r
para algum inteiro r>=1. Note que de fato r>=1 pois sabemos que pmid a e pmid b, então pmid a^2 e pmid b.
Passo 4
Basta ver que r não pode passar de 2. Suponha, por absurdo, que r>=3. Então
p^r mid a^2 e p^r mid b
Da primeira divisibilidade escrevemos a^2 = p^r k para algum inteiro k. Como pmid a, escreva a = p,s. Substituindo:
(p,s)^2 = p^r k Longrightarrow p^2 s^2 = p^r k
Como pneq0, podemos cancelar p^2 e obter
s^2 = p^,r-2 k
Como r-2>=1, o lado direito tem um fator p, então pmid s. Assim a = p,s fica com p^2mid a.
Paralelamente, de p^rmid b (com r>=3) vem p^2mid b. Mas isso implica
gcd(a,b);>=;p^2,
o que contraria gcd(a,b)=p. Logo não pode ocorrer r>=3, isto é, r<=2.
Resposta
gcd(a^2,b)=p ou gcd(a^2,b)=p^2.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 241