Se , mostre que são irredutíveis as frações:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninZ com nneq2, a fração
n-1n-2
é irredutível. Em termos de teoria de números, isso equivale a provar que
gcd(n-1,n-2)=1
Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides, que afirma que
gcd(a,b)=gcd(a-b,b)

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides a gcd(n-1,n-2). Observe que
(n-1)-(n-2)=1,
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gcd(n-1,n-2) =gcdl((n-1)-(n-2),,n-2r) =gcd(1,n-2)

Passo 3

Como gcd(1,n-2)=1 para todo inteiro n-2, concluímos que
gcd(n-1,n-2)=1
Portanto, não há divisor comum maior que 1 entre numerador e denominador, e a fração é irredutível.

Resposta

A fração n-1n-2 é irredutível para todo ninZ com nneq2.

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