Determine dois inteiros res, primos entre si, tais que:
r^2-s^2r^3-s^3=13127

Passo 1

O enunciado pede inteiros r,s, coprimos, tais que
r^2-s^2r^3-s^3 = 13127
O conteúdo é manipulação algébrica: fatoração, cancelamento de fatores e uso de somas e produtos de raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador em termos de r-s:
r^2-s^2 = (r-s)(r+s), r^3-s^3 = (r-s)l(r^2+rs+s^2r)
Como rneq s, podemos cancelar r-s e obtemos
r+sr^2+rs+s^2 = 13127

Passo 3

Definimos
t = r+s, u = rs
Então r^2+rs+s^2 = t^2-u, e a equação fica
t,t^2-u, = 13127 Longrightarrow 127,t = 13l(t^2-ur) Longrightarrow u = t^2 - 12713,t
Para u inteiro, tfrac12713t deve ser inteiro, logo t é múltiplo de 13. Escrevemos
t = 13k, u = (13k)^2 - 127k = k,(169k -127)

Passo 4

Os valores de r,s são raízes da equação
X^2 - t,X + u = 0 ;Longrightarrow; X^2 - 13k,X + k(169k -127) = 0
Seu discriminante é
De<a = (13k)^2 - 4,k(169k -127) = k,(508 - 507k)
Para r,sinZ, De<a deve ser um quadrado perfeito e De<a>=0.

Passo 5

Analisamos kmapsto k(508-507k)>=0. Só há intervalo inteiro possível em que k>=0 e 508-507k>=0, ou seja kin0,1.
  • k=0 De<a=0 mas então r=s, o que não vale pois anula o denominador original.
  • k=1 De<a = 1, que é quadrado perfeito.
Logo k=1,
t = 13, u = 1cdot(169-127) = 42

Passo 6

As raízes de
X^2 - 13X + 42 = 0
são
X = 13 pm raiz169 - 1682 = 13 pm 12,
isto é X=7 e X=6. Assim r,s=7,6. Verificamos gcd(7,6)=1 e que de fato
7^2-6^27^3-6^3 = 49-36343-216 = 13127

Resposta

r=7,;s=6 (ou vice-versa).

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