6.1.22 As representações de produto infinito da Seção 5.11 são válidas quando a variável real
é substituída pela variável complexa
. A partir dessa afirmativa, desenvolva representações de produto infinito para
(a) senh
,
(b)
.
(a) senh
(b)
Passo 1
O enunciado pede para obter representações de produto infinito para
e
, válidas em todo o plano complexo. Vamos usar as fórmulas clássicas (válidas para
)
e fazer substituições adequadas para passar de
para
e de
para
.
Passo 2
Para
, note que
Aplicando a expansão de
a
temos
Como
, divide-se ambos os lados por
para obter
Passo 3
Finalmente, basta trocar
por
para deslocar o fator
do argumento para o denominador:
Passo 4
Para
, usamos
. Na fórmula de
tomamos
, pois
Então