6.1.22 As representações de produto infinito da Seção 5.11 são válidas quando a variável real x é substituída pela variável complexa z. A partir dessa afirmativa, desenvolva representações de produto infinito para
(a) senh z,
(b) cosh z.

Passo 1

O enunciado pede para obter representações de produto infinito para sinh z e cosh z, válidas em todo o plano complexo. Vamos usar as fórmulas clássicas (válidas para zinC)
sin pi z=pi zprodn=1^inftyl(1-z^2n^2r), cos pi z=prodn=1^inftyl(1-4z^2(2n-1)^2r),
e fazer substituições adequadas para passar de sin para sinh e de cos para cosh.

Passo 2

Para sinh, note que
sin(pi i z)=isinh(pi z)
Aplicando a expansão de sin pi w a w=i z temos
sin(pi i z) =pi(i z)prodn=1^inftyl(1-(i z)^2n^2r) =pi i zprodn=1^inftyl(1+z^2n^2r)
Como sin(pi i z)=isinh(pi z), divide-se ambos os lados por i para obter
sinh(pi z) =pi zprodn=1^inftyl(1+z^2n^2r)

Passo 3

Finalmente, basta trocar z por z/pi para deslocar o fator pi do argumento para o denominador:
sinh z =sinhl(picdotzpir) =picdotzpi,prodn=1^inftyl(1+(z/pi)^2n^2r) =zprodn=1^inftyl(1+z^2pi^2n^2r)

Passo 4

Para cosh, usamos cos(i z)=cosh z. Na fórmula de cospi w tomamos w=i z/pi, pois
cos!l(picdoti zpir) =cos(i z)=cosh z
Então
cosh z =prodn=1^inftyl(1-4,(i z/pi)^2(2n-1)^2r) =prodn=1^inftyl(1+4z^2pi^2(2n-1)^2r)

Resposta

boxed sinh z = zprodn=1^inftyl(1+z^2pi^2n^2r), cosh z = prodn=1^inftyl(1+4z^2pi^2(2n-1)^2r)

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