6.1.22 As representações de produto infinito da Seção 5.11 são válidas quando a variável real x é substituída pela variável complexa z. A partir dessa afirmativa, desenvolva representações de produto infinito para
(a) senh z,
(b) \operatorname{cosh} z.

Passo 1

O enunciado pede para obter representações de produto infinito para \operatorname{sinh} z e \operatorname{cosh} z, válidas em todo o plano complexo. Vamos usar as fórmulas clássicas (válidas para z\in\mathbb{C})
\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\Bigr), \qquad \cos \pi z=\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{4z^{2}}{(2n-1)^{2}}\Bigr),
e fazer substituições adequadas para passar de \sin para \operatorname{sinh} e de \cos para \operatorname{cosh}.

Passo 2

Para \operatorname{sinh}, note que
\sin(\pi i z)=i\operatorname{sinh}(\pi z).
Aplicando a expansão de \sin \pi w a w=i z temos
\sin(\pi i z) =\pi(i z)\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{(i z)^{2}}{n^{2}}\Bigr) =\pi i z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{z^{2}}{n^{2}}\Bigr).
Como \sin(\pi i z)=i\operatorname{sinh}(\pi z), divide-se ambos os lados por i para obter
\operatorname{sinh}(\pi z) =\pi z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{z^{2}}{n^{2}}\Bigr).

Passo 3

Finalmente, basta trocar z por z/\pi para deslocar o fator \pi do argumento para o denominador:
\operatorname{sinh} z =\operatorname{sinh}\bigl(\pi\cdot\frac{z}{\pi}\bigr) =\pi\cdot\frac{z}{\pi}\,\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{(z/\pi)^{2}}{n^{2}}\Bigr) =z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{z^{2}}{\pi^{2}n^{2}}\Bigr).

Passo 4

Para \operatorname{cosh}, usamos \cos(i z)=\operatorname{cosh} z. Na fórmula de \cos\pi w tomamos w=i z/\pi, pois
\cos\!\bigl(\pi\cdot\frac{i z}{\pi}\bigr) =\cos(i z)=\operatorname{cosh} z.
Então
\operatorname{cosh} z =\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{4\,(i z/\pi)^{2}}{(2n-1)^{2}}\Bigr) =\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{4z^{2}}{\pi^{2}(2n-1)^{2}}\Bigr).

Resposta

\boxed{ \operatorname{sinh} z = z\prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{z^{2}}{\pi^{2}n^{2}}\Bigr), \quad \operatorname{cosh} z = \prod_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{4z^{2}}{\pi^{2}(2n-1)^{2}}\Bigr) }

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